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5.8 : Théorème de Stokes


Objectifs d'apprentissage

  • Expliquez le sens du théorème de Stokes.
  • Utilisez le théorème de Stokes pour évaluer une ligne intégrale.
  • Utilisez le théorème de Stokes pour calculer une intégrale de surface.
  • Utilisez le théorème de Stokes pour calculer une boucle.

Dans cette section, nous étudions le théorème de Stokes, une généralisation de dimension supérieure du théorème de Green. Ce théorème, comme le théorème fondamental des intégrales de droites et le théorème de Green, est une généralisation du théorème fondamental du calcul à des dimensions supérieures. Le théorème de Stokes relie une surface vectorielle intégrale sur la surface S dans l'espace à une ligne intégrale autour de la frontière de S. Par conséquent, tout comme les théorèmes précédents, le théorème de Stokes peut être utilisé pour réduire une intégrale sur un objet géométrique S à une intégrale sur la frontière de S. En plus de nous permettre de traduire entre les intégrales de ligne et les intégrales de surface, le théorème de Stokes relie les concepts de boucle et de circulation. De plus, le théorème a des applications en mécanique des fluides et en électromagnétisme. Nous utilisons le théorème de Stokes pour dériver la loi de Faraday, un résultat important impliquant des champs électriques.

Théorème de Stokes

Le théorème de Stokes dit que nous pouvons calculer le flux de ( curl ,vecs{F}) à travers la surface (S) en connaissant uniquement les informations sur les valeurs de (vecs{F}) le long de la frontière de (S). Inversement, on peut calculer l'intégrale de droite du champ de vecteurs (vecs{F}) le long de la frontière de la surface (S) en traduisant en une intégrale double de la boucle de (vecs{F}) sur (S).

Laisser S être une surface lisse orientée de vecteur normal unitaire (vecs{N}). De plus, supposons que le bord de (S) est une simple courbe fermée (C). L'orientation de (S) induit l'orientation positive de C si, en marchant dans le sens positif autour C avec la tête pointée dans la direction de (vecs{N}), la surface est toujours à votre gauche. Avec cette définition en place, nous pouvons affirmer théorème de Stokes.

Théorème (PageIndex{1}): Théorème de Stokes

Soit (S) une surface orientée par morceaux lisse avec une frontière qui est une simple courbe fermée (C) avec une orientation positive (Figure (PageIndex{1})). Si (vecs{F}) est un champ de vecteurs avec des fonctions composantes qui ont des dérivées partielles continues sur une région ouverte contenant (S), alors

[int_C vecs{F} cdot d vecs{r} = iint_S curl , vecs{F} cdot dS. label{Stokes1}]

Supposons que la surface S est une région plate dans le xy-plan avec orientation vers le haut. Alors le vecteur normal unitaire est (vecs{k}) et l'intégrale de surface

[iint_S curl , vecs{F} cdot dvecs{S}]

est en fait l'intégrale double

[iint_S curl , vecs{F} cdot vecs{k} , dA.]

Dans ce cas particulier, le théorème de Stokes donne

[int_C vecs{F} cdot dvecs{r} = iint_S curl , vecs{F} cdot vecs{k} , dA.]

Cependant, c'est la forme de flux du théorème de Green, qui nous montre que le théorème de Green est un cas particulier du théorème de Stokes. Le théorème de Green ne peut gérer que des surfaces dans un plan, mais le théorème de Stokes peut gérer des surfaces dans un plan ou dans l'espace.

La preuve complète du théorème de Stokes dépasse le cadre de ce texte. Nous regardons une explication intuitive de la vérité du théorème, puis voyons la preuve du théorème dans le cas particulier qui fait surface S est une partie d'un graphique d'une fonction, et S, la limite de S, et (vecs{F}) sont tous assez dociles.

Preuve

Tout d'abord, nous examinons une preuve informelle du théorème. Cette preuve n'est pas rigoureuse, mais elle est destinée à donner une idée générale de la raison pour laquelle le théorème est vrai. Laisser S être une surface et laisser être un petit morceau de la surface de sorte que ne partage aucun point avec la frontière de S. Nous choisissons être assez petit pour qu'il puisse être approximé par un carré orienté E. Laisser hériter de son orientation de S, Et donner E la même orientation. Ce carré a quatre côtés ; notez-les (E_l, , E_r, , E_u) et (E_d) pour les côtés gauche, droit, haut et bas, respectivement. Sur le carré, on peut utiliser la forme flux du théorème de Green :

[int_{E_l+E_d+E_r+E_u} vecs{F} cdot d vecs{r} = iint_E curl , vecs{F} cdot vecs{N} , d vecs{ S} = iint_E curl , vecs{F} cdot dvecs{S}.]

Pour approximer le flux sur toute la surface, nous ajoutons les valeurs du flux sur les petits carrés approximant les petits morceaux de la surface (Figure (PageIndex{2})).

Par le théorème de Green, le flux à travers chaque carré approximatif est une ligne intégrale sur sa frontière. Laisser F être un carré approximatif avec une orientation héritée de S et avec un côté droit (E_l) (donc F est à gauche de E). Soit (F_r) le côté droit de (F); alors, (E_l = - f_r). En d'autres termes, le côté droit de (F) est la même courbe que le côté gauche de E, juste orienté dans la direction opposée. Donc,

[int_{E_l} F cdot dr = - int_{F_r} F cdot dr. pas de numéro]

Comme nous additionnons tous les flux sur tous les carrés approximant la surface S, intégrales de ligne

[int_{E_l} vecs{F} cdot d vecs{r}]

et

[ int_{F_r} vecs{F} cdot dvecs{r}]

s'annulent mutuellement. Il en va de même pour les intégrales linéaires sur les trois autres côtés de E. Ces trois intégrales droites s'annulent avec l'intégrale droite du côté inférieur du carré ci-dessus E, la droite intégrale sur le côté gauche du carré à droite de E, et la ligne intégrale sur le côté supérieur du carré ci-dessous E (Figure (PageIndex{3})). Après toute cette annulation se produit sur tous les carrés approximatifs, les seules intégrales de ligne qui survivent sont les intégrales de ligne sur les côtés se rapprochant de la frontière de S. Par conséquent, la somme de tous les flux (qui, par le théorème de Green, est la somme de toutes les intégrales de ligne autour des frontières des carrés approximatifs) peut être approchée par une intégrale de ligne sur la frontière de S. A la limite, lorsque les aires des carrés d'approximation tendent vers zéro, cette approximation se rapproche arbitrairement du flux.

Voyons maintenant une preuve rigoureuse du théorème dans le cas particulier que S est le graphe de la fonction (z = f(x,y)), où X et oui varier sur une région délimitée et simplement connectée de zone finie (Figure (PageIndex{4})). De plus, supposons que (f) a des dérivées partielles continues du second ordre. Laisser C désigne la limite de S et laissez Cdésigne la frontière de . Puis, est "l'ombre" de S dans l'avion et C′ est "l'ombre" de C. Supposer que S est orienté vers le haut. L'orientation dans le sens antihoraire de C est positif, tout comme l'orientation antihoraire de (C'). Soit (F(x,y,z) = langle P,Q,R angle) un champ de vecteurs avec des fonctions composantes qui ont des dérivées partielles continues.

On prend la paramétrisation standard de (S , : , x = x, , y = y, , z = g(x,y)). Les vecteurs tangents sont (t_x = langle 1,0,g_x angle) et (t_y = langle 0,1,g_y angle), et donc (t_x cdot t_y = langle -g_x, , -g_y, , 1 angle).

[iint_S curl , vecs{F} cdot dvecs{S} = iint_D [- (R_y - Q_z)z_x - (P_z - R_x)z_y + (Q_x - P_y)] , dA, pas de numéro]

où les dérivées partielles sont toutes évaluées à ((x,y,g(x,y))), faisant dépendre l'intégrande de X et oui seulement. Supposons que (langle x (t), , y(t) angle, , a leq t leq b) soit une paramétrisation de (C'). Ensuite, une paramétrisation de C est (langle x (t), , y(t), , g(x(t), , y(t)) angle, , a leq t leq b). Armé de ces paramétrisations, de la règle de la chaîne et du théorème de Green, et en gardant à l'esprit que P, Q, et R sont toutes des fonctions de X et oui, on peut évaluer l'intégrale de droite

[ egin{align*} int_C vecs{F} cdot d vecs{r} &= int_a^b (Px'(t) + Qy'(t) + Rz'(t)) , dt [4pt] &= int_a^b left[Px'(t) + Qy'(t) + Rleft(dfrac{partial z}{partial x} dfrac{dx}{dt } + dfrac{partial z}{partial y} dfrac{dy}{dt} ight) ight] dt [4pt] &= int_a^b left[ left(P + R dfrac{partial z}{partial x} ight) x' (t) + left(Q + R dfrac{partial z}{partial y} ight) y'(t) ight] dt [4pt] &= int_{C'} left(P + R dfrac{partial z}{partial x} ight), dx + left(Q + R dfrac{partial z }{partial y} ight) , dy [4pt] &= iint_D left[ dfrac{partial}{partial x} left( Q + R dfrac{partial z}{ partiel y} ight) - dfrac{partial}{partial y} left(P + R dfrac{partial z}{partial x} ight) ight] , dA [4pt] &=iint_D left(dfrac{partial Q}{partial x} + dfrac{partial Q}{partial z} dfrac{partial z}{partial x} + dfrac{partial R}{partial x} dfrac{partial z}{partial y} + dfrac{partial R}{partial z}dfrac{partial z}{partial x} dfrac{partial z}{partial y} + R dfrac{partial^2 z}{partial x partial y} ight) - left(dfrac{partial P}{partial y} + dfrac{partial P}{partial z} dfrac{partial z}{partial y} + dfrac{partial R}{partial z} dfrac{partial z}{partial y} dfrac{partial z}{partial x} + R dfrac{partial^2 z}{partial y partial x} ight) end{align*} ]

Par le théorème de Clairaut,

[dfrac{partial^2 z}{partial x partial y} = dfrac{partial^2 z}{partial y partial x} onumber]

Par conséquent, quatre des termes disparaissent de cette double intégrale, et nous nous retrouvons avec

[iint_D [- (R_y - Q_z)Z_x - (P_z - R_x) z_y + (Q_x - P_y)] , dA, onumber]

ce qui équivaut

[iint_S curl , vecs{F} cdot dvecs{S}. pas de numéro]

(Boîte)

Nous avons montré que le théorème de Stokes est vrai dans le cas d'une fonction avec un domaine qui est une région simplement connexe d'aire finie. Nous pouvons rapidement confirmer ce théorème pour un autre cas important : lorsque le champ de vecteurs (vecs{F}) est un champ conservateur. Si (vecs{F}) est conservateur, la boucle de (vecs{F}) est nulle, donc

[iint_S curl , vecs{F} cdot dvecs{S} = 0.]

Depuis la limite de S est une courbe fermée, l'intégrale

[int_C vecs{F} cdot dvecs{r}.]

est également nul.

Exemple (PageIndex{1}) : Vérification du théorème de Stokes pour un cas spécifique

Vérifier que le théorème de Stokes est vrai pour le champ vectoriel (vecs{F}(x,y) = langle -z,x,0 angle) et la surface S, où S est l'hémisphère, orienté vers l'extérieur, avec le paramétrage (r(phi, heta) = langle sin phi , cos heta, , sin phi , sin heta, , cos phi angle, , 0 leq heta leq pi, , 0 leq phi leq pi) comme le montre la figure (PageIndex{5}).

Solution

Laisser C être la frontière de S. Notez que C est un cercle de rayon 1, centré à l'origine, situé dans le plan (y = 0). Ce cercle est paramétré (langle cos t, , 0, , sin t angle, , 0 leq t leq 2pi). l'équation pour les intégrales de surface scalaires

[ egin{align*} int_C vecs{F} cdot d vecs{r} &= int_0^{2pi} langle -sin t, , cos t, , 0 rangle cdot langle - sin t, , 0, , cos t angle , dt [4pt] &= int_0^{2pi} sin^2 t , dt [ 4pt] &= pi. end{align*}]

Par l'équation des intégrales vectorielles,

[ egin{align*} iint_S , curl , vecs{F} cdot dS &= iint_D curl , vecs{F} (r (phi, heta)) cdot ( t_{ phi} imes t_{ heta}) , dA [4pt] &= iint_D langle 0, -1, 1 angle cdot langle cos heta , sin^2 phi, , sin heta , sin^2 phi, , sin phi , cos phi angle , dA [4pt] &= int_0^{pi} int_0^{ pi} (sin phi , cos phi - sin heta , sin^2 phi ) , dphi d heta [4pt] &= dfrac{pi}{ 2} int_0^{pi} sin heta , d heta [4pt] &= pi.end{align*}]

Par conséquent, nous avons vérifié le théorème de Stokes pour cet exemple.

Exercice (PageIndex{1})

Vérifier que le théorème de Stokes est vrai pour le champ de vecteurs (vecs{F}(x,y,z) = langle y,x,-z angle ) et la surface S, où S est la partie orientée vers le haut du graphique de (f(x,y) = x^2 y) sur un triangle dans le xy-plan avec les sommets ((0,0), , (2,0)) et ((0,2)).

Indice

Calculer séparément l'intégrale double et l'intégrale linéaire.

Réponse

Les deux intégrales donnent (-dfrac{136}{45}):

Interprétation de la boucle

En plus de traduire entre les intégrales de ligne et les intégrales de flux, le théorème de Stokes peut être utilisé pour justifier l'interprétation physique de curl que nous avons apprise. Ici, nous étudions la relation entre la boucle et la circulation, et nous utilisons le théorème de Stokes pour énoncer la loi de Faraday, une loi importante en électricité et en magnétisme qui relie la boucle d'un champ électrique au taux de variation d'un champ magnétique.

Rappelez-vous que si C est une courbe fermée et (vecs{F}) est un champ de vecteurs défini sur C, alors la circulation de (vecs{F}) autour C est une ligne intégrale

[int_C vecs{F} cdot dvecs{r}.]

Si (vecs{F}) représente le champ de vitesse d'un fluide dans l'espace, alors la circulation mesure la tendance du fluide à se déplacer dans la direction de C.

Soit (vecs{F}) un champ de vecteurs continu et soit (D_{ au}) un petit disque de rayon r avec le centre PD_0) (Figure (PageIndex{7})). Si (D_{ au}) est assez petit, alors ((curl , vecs{F})(P) approx (curl , F)(P_0)) pour tous les points (P ) dans (D_{ au}) car la boucle est continue. Soit (C_{ au}) le cercle frontière de (D_{ au}) : D'après le théorème de Stokes,

[int_{C_{ au}} vecs{F} cdot dvecs{r} = iint_{D_{ au}} curl , vecs{F} cdot vecs{N} , dS approx iint_{D_{ au}} (curl , vecs{F})(P_0) cdot vecs{N} (P_0) , dS.]

La quantité ( (curl , F)(P_0) cdot N (P_0) ) est constante, et donc

[iint_{D_{ au}} (curl , F)(P_0) cdot N (P_0) , dS = pi r^2 [(curl , F)(P_0) cdot N (P_0 )]. pas de numéro]

Ainsi

[int_{C_{ au}} F cdot dr approx pi r^2 [ (curl , F)(P_0) cdot N (P_0)], onumber]

et l'approximation se rapproche arbitrairement à mesure que le rayon diminue jusqu'à zéro. Le théorème de Stokes implique donc que

[(curl , F)(P_0) cdot N (P_0) = lim_{r ightarrow 0^+} dfrac{1}{pi r^2} int_{C_{ au}} F cdot dr. pas de numéro]

Cette équation relie la boucle d'un champ vectoriel à la circulation. Puisque la surface du disque est (pi r^2), cette équation dit que nous pouvons voir la boucle (à la limite) comme la circulation par unité de surface. Rappelez-vous que si F est le champ de vitesse d'un fluide, alors la circulation [oint_{C_{ au}} F cdot dr = oint_{C_{ au}} F cdot T , ds] est une mesure de la tendance du fluide à se déplacer (C_{ au}) : La raison en est que (F cdot T) est une composante de F en direction de T, et plus la direction de F est de T, plus la valeur de (F cdot T) est grande (rappelez-vous que si une et b sont des vecteurs et b est fixe, alors le produit scalaire a⋅b est maximal lorsque une pointe dans le même sens que b). Par conséquent, si F est le champ de vitesse d'un fluide, alors (curl , F cdot N) est une mesure de la façon dont le fluide tourne autour de l'axe N. L'effet de la boucle est le plus grand autour de l'axe qui pointe dans la direction de N, car dans ce cas (curl , F cdot N) est le plus grand possible.

Pour voir cet effet de manière plus concrète, imaginez placer une petite roue à aubes au point (P_0) (Figure (PageIndex{8})). La roue à aubes atteint sa vitesse maximale lorsque l'axe de la roue pointe dans le sens de la boucle F. Cela justifie l'interprétation du curl que nous avons apprise : curl est une mesure de la rotation dans le champ vectoriel autour de l'axe qui pointe dans la direction du vecteur normal N, et le théorème de Stokes justifie cette interprétation.

Maintenant que nous connaissons le théorème de Stokes, nous pouvons discuter des applications dans le domaine de l'électromagnétisme. En particulier, nous examinons comment nous pouvons utiliser le théorème de Stokes pour traduire entre deux formes équivalentes de la loi de Faraday. Avant d'énoncer les deux formes de la loi de Faraday, nous avons besoin d'une terminologie de base.

Laisser C être une courbe fermée qui modélise un fil mince. Dans le contexte des champs électriques, le fil peut se déplacer dans le temps, nous écrivons donc (C(t)) pour représenter le fil. À un moment donné t, la courbe (C(t)) peut être différente de la courbe d'origine C à cause du mouvement du fil, mais nous supposons que (C(t)) est une courbe fermée pour tous les temps t. Soit (D(t)) une surface avec (C(t)) comme bord, et oriente (C(t)) de telle sorte que (D(t)) ait une orientation positive. Supposons que (C(t)) se trouve dans un champ magnétique (B(t)) qui peut également changer avec le temps. En d'autres termes, (vecs{B}) a la forme

[B(x,y,z) = langle P(x,y,z), , Q(x,y,z), , R(x,y,z) angle,]

P, Q, et R peuvent tous varier de façon continue dans le temps. On peut produire du courant le long du fil en changeant le champ (B(t)) (c'est une conséquence de la loi d'Ampère). Le flux (phi (t) = iint_{D(t)} B(t) cdot dS) crée un champ électrique (E(t)) qui fonctionne. La forme intégrale de la loi de Faraday stipule que

[Work = int_{C(t)} E(t) cdot dr = - dfrac{partial phi}{partial t}.]

En d'autres termes, le travail effectué par (vecs{E}) est l'intégrale de droite autour de la frontière, qui est également égale au taux de variation du flux par rapport au temps. La forme différentielle de la loi de Faraday stipule que

[curl , vecs{E} = - dfrac{partial B}{partial t}.]

En utilisant le théorème de Stokes, nous pouvons montrer que la forme différentielle de la loi de Faraday est une conséquence de la forme intégrale. Par le théorème de Stokes, nous pouvons convertir l'intégrale de ligne sous la forme intégrale en intégrale de surface

[-dfrac{partial phi}{partial t} = int_{C(t)} E(t) cdot dr = iint_{D(t)} curl , E(t) cdot dS.]

Puisque [phi (t) = iint_{D(t)} B(t) cdot dS,] alors tant que l'intégration de la surface ne varie pas avec le temps on a aussi

[- dfrac{partial phi}{partial t} = iint_{D(t)} - ​​dfrac{partial B}{partial t} cdot dS.]

Donc,

[iint_{D(t)} - ​​dfrac{partial B}{partial t} cdot dS = iint_{D(t)} curl , E cdot dS.]

Pour dériver la forme différentielle de la loi de Faraday, nous aimerions conclure que (curl , E = -dfrac{partial B}{partial t}): En général, l'équation

[iint_{D(t)} - ​​dfrac{partial B}{partial t} cdot dS = iint_{D(t)} curl , E cdot dS]

n'est pas suffisant pour conclure que (curl , E = -dfrac{partial B}{partial t}) : Les symboles intégraux ne « s'annulent » pas simplement, laissant l'égalité des intégrandes. Pour voir pourquoi le symbole intégral ne s'annule pas simplement en général, considérons les deux intégrales à une seule variable (int_0^1 x , dx) et (int_0^1 f(x), dx), où

[f(x) = egin{cas}1, ext{0 (leq) x (leq) 2} 0 ext{1/2 (leq) x (leq) 1.} end{cas}]

Ces deux intégrales sont égales à (dfrac{1}{2}), donc (int_0^1 x , dx = int_0^1 f(x) , dx).

Cependant, (x eq f(x)). De manière analogue, avec notre équation [iint_{D(t)} - ​​dfrac{partial B}{partial t} cdot dS = iint_{D(t)} curl , E cdot dS,] nous ne pouvons pas simplement conclure que(curl , E = -dfrac{partial B}{partial t}) simplement parce que leurs intégrales sont égales. Cependant, dans notre contexte, l'équation

[iint_{D(t)} - ​​dfrac{partial B}{partial t} cdot dS = iint_{D(t)} curl , E cdot dS]

est vrai pour tout région, aussi petite soit-elle (cela contraste avec les intégrales à une seule variable dont nous venons de parler). Si F et g sont des champs de vecteurs tridimensionnels tels que

[iint_S F cdot dS = iint_S G cdot dS]

pour toute surface S, alors il est possible de montrer que (F = G) en rétrécissant l'aire de S à zéro en prenant une limite (plus la zone de S, plus la valeur de (iint_S F cdot dS) est proche de la valeur de F à un point à l'intérieur S). Par conséquent, nous pouvons laisser l'aire (D(t)) se réduire à zéro en prenant une limite et obtenir la forme différentielle de la loi de Faraday :

[curl , E = - dfrac{partial B}{partial t}.]

Dans le contexte des champs électriques, la boucle du champ électrique peut être interprétée comme le négatif du taux de variation du champ magnétique correspondant par rapport au temps.

Exemple (PageIndex{4}) : Utilisation de la loi de Faraday

Calculer la courbe du champ électrique (vecs{E}) si le champ magnétique correspondant est un champ constant (B(t) = langle 1, -4, 2 angle).

Solution

Comme le champ magnétique ne change pas en fonction du temps, (-dfrac{partial B}{partial t} = 0). D'après la loi de Faraday, la boucle du champ électrique est donc également nulle.

Une analyse

Une conséquence de la loi de Faraday est que la courbe du champ électrique correspondant à un champ magnétique constant est toujours nulle.

Exercice (PageIndex{4})

Calculer la courbe du champ électrique (vecs{E}) si le champ magnétique correspondant est (B(t) = langle tx, , ty, , -2tz angle, , 0 leq t < infty.)

Indice
  • Utilisez la forme différentielle de la loi de Faraday.
  • Notez que la courbure du champ électrique ne change pas avec le temps, bien que le champ magnétique change avec le temps.
Réponse

(curl , vecs{E} = langle x, , y, , -2z angle)

Concepts clés

  • Le théorème de Stokes relie une intégrale de flux sur une surface à une ligne intégrale autour de la limite de la surface. Le théorème de Stokes est une version dimensionnelle supérieure du théorème de Green, et est donc une autre version du théorème fondamental du calcul dans des dimensions supérieures.
  • Le théorème de Stokes peut être utilisé pour transformer une intégrale de surface difficile en une intégrale de ligne plus facile, ou une intégrale de ligne difficile en une intégrale de surface plus facile.
  • Grâce au théorème de Stokes, les intégrales de ligne peuvent être évaluées en utilisant la surface la plus simple avec frontière C.
  • La loi de Faraday relie la courbe d'un champ électrique à la vitesse de variation du champ magnétique correspondant. Le théorème de Stokes peut être utilisé pour dériver la loi de Faraday.

Équations clés

  • théorème de Stokes

[int_C vecs{F} cdot dvecs{r} = iint_S curl , vecs{F} cdot dvecs{S} onumber]

Glossaire

théorème de Stokes
rapporte l'intégrale de flux sur une surface S à une ligne intégrale autour de la frontière C de la superficie S
indépendant de la surface
les intégrales de flux des champs de vecteurs curl sont indépendantes de la surface si leur évaluation ne dépend pas de la surface mais seulement de la frontière de la surface

Contributeurs

  • Gilbert Strang (MIT) et Edwin « Jed » Herman (Harvey Mudd) avec de nombreux auteurs contributeurs. Ce contenu d'OpenStax est sous licence CC-BY-SA-NC 4.0. Téléchargez gratuitement sur http://cnx.org.


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