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3.4 : Limites et continuité - Mathématiques


Objectifs d'apprentissage

  • Calculer la limite d'une fonction de deux variables.
  • Découvrez comment une fonction de deux variables peut approcher des valeurs différentes à un point limite, selon le chemin d'approche.
  • Énoncer les conditions de continuité d'une fonction de deux variables.
  • Vérifier la continuité d'une fonction de deux variables en un point.
  • Calculer la limite d'une fonction de trois variables ou plus et vérifier la continuité de la fonction en un point.

Nous avons maintenant examiné les fonctions de plus d'une variable et vu comment les représenter graphiquement. Dans cette section, nous voyons comment prendre la limite d'une fonction de plus d'une variable, et ce que cela signifie pour une fonction de plus d'une variable d'être continue en un point de son domaine. Il s'avère que ces concepts ont des aspects qui ne se produisent tout simplement pas avec les fonctions d'une variable.

Limite d'une fonction de deux variables

Rappelons de la section 2.5 que la définition d'une limite d'une fonction d'une variable :

Soit (f(x)) défini pour tout (x≠a) dans un intervalle ouvert contenant (a). Soit (L) un nombre réel. Puis

[lim_{x→a}f(x)=L]

si pour tout (ε>0,) il existe un (δ>0), tel que si (0<|x−a|<δ) pour tout (x) dans le domaine de (f), alors

[|f(x)−L|<ε.]

Avant de pouvoir adapter cette définition pour définir une limite d'une fonction de deux variables, nous devons d'abord voir comment étendre l'idée d'un intervalle ouvert dans une variable à un intervalle ouvert dans deux variables.

Définition : (delta) Disques

Considérons un point ((a,b)∈mathbb{R}^2.) A (δ) disque centré au point ((a,b)) est défini comme un disque ouvert de rayon (δ) centré au point ((a,b)) — c'est-à-dire,

[{(x,y)∈mathbb{R}^2∣(x−a)^2+(y−b)^2<δ^2}]

comme le montre la figure (PageIndex{1}).

L'idée de disque (δ) apparaît dans la définition de la limite d'une fonction de deux variables. Si (δ) est petit, alors tous les points ((x,y)) du disque (δ) sont proches de ((a,b)). Ceci est complètement analogue à x étant proche de a dans la définition d'une limite d'une fonction d'une variable. Dans une dimension, nous exprimons cette restriction comme

[a−δ

Dans plus d'une dimension, nous utilisons un disque (δ).

Définition : limite d'une fonction de deux variables

Soit (f) une fonction de deux variables, (x) et (y). La limite de (f(x,y)) lorsque ((x,y)) s'approche de ((a,b)) est (L), écrite

[lim_{(x,y)→(a,b)}f(x,y)=L]

si pour chaque (ε>0) il existe un (δ>0) assez petit tel que pour tout point ((x,y)) dans un disque (δ) autour de ((a, b)), sauf peut-être pour ((a,b)) lui-même, la valeur de (f(x,y)) n'est pas à plus de (ε) de (L) (Figure (PageIndex{2})).

En utilisant des symboles, nous écrivons ceci : Pour tout (ε>0), il existe un nombre (δ>0) tel que

[|f(x,y)−L|<ε]

n'importe quand

[0

Prouver qu'une limite existe en utilisant la définition d'un limite d'une fonction de deux variables peut être difficile. Au lieu de cela, nous utilisons le théorème suivant, qui nous donne des raccourcis pour trouver des limites. Les formules de ce théorème sont une extension des formules du théorème des lois limites dans Les lois limites.

Lois limites pour les fonctions de deux variables

Soit (f(x,y)) et (g(x,y)) définis pour tout ((x,y)≠(a,b)) dans un voisinage autour de ((a, b)), et supposons que le voisinage est entièrement contenu dans le domaine de (f). Supposons que (L) et (M) soient des nombres réels tels que

[lim_{(x,y)→(a,b)}f(x,y)=L]

et

[lim_{(x,y)→(a,b)}g(x,y)=M,]

et soit (c) une constante. Alors chacune des affirmations suivantes est vérifiée :

Loi constante :

[lim_{(x,y)→(a,b)}c=c]

Lois sur l'identité :

[lim_{(x,y)→(a,b)}x=a]

[lim_{(x,y)→(a,b)}y=b]

Loi de la somme :

[lim_{(x,y)→(a,b)}(f(x,y)+g(x,y))=L+M]

Loi de la différence :

[lim_{(x,y)→(a,b)}(f(x,y)−g(x,y))=L−M]

Loi multiple constante :

[lim_{(x,y)→(a,b)}(cf(x,y))=cL]

Droit des produits :

[lim_{(x,y)→(a,b)}(f(x,y)g(x,y))=LM]

Loi du quotient :

[lim_{(x,y)→(a,b)}dfrac{f(x,y)}{g(x,y)}=dfrac{L}{M} ext{ pour } M ≠0]

Loi de puissance:

[lim_{(x,y)→(a,b)}(f(x,y))^n=L^n]

pour tout entier positif (n).

Loi fondamentale :

[lim_{(x,y)→(a,b)}sqrt[n]{f(x,y)}=sqrt[n]{L}]

pour tout (L) si (n) est impair et positif, et pour (L≥0) si n est pair et positif.

Les preuves de ces propriétés sont similaires à celles des limites des fonctions d'une variable. Nous pouvons appliquer ces lois pour trouver les limites de diverses fonctions.

Exemple (PageIndex{1}) : Recherche de la limite d'une fonction de deux variables

Trouvez chacune des limites suivantes :

  1. (displaystyle lim_{(x,y)→(2,−1)}(x^2−2xy+3y^2−4x+3y−6))
  2. (displaystyle lim_{(x,y)→(2,−1)}dfrac{2x+3y}{4x−3y})

Solution

une. Utilisez d'abord les lois de la somme et de la différence pour séparer les termes :

[egin{align*} lim_{(x,y)→(2,−1)}(x^2−2xy+3y^2−4x+3y−6) = left(lim_{ (x,y)→(2,−1)}x^2 ight)− left(lim_{(x,y)→(2,−1)}2xy ight)+ left(lim_{ (x,y)→(2,−1)}3y^2 ight)−left(lim_{(x,y)→(2,−1)}4x ight) + left( lim_{(x,y)→(2,−1)}3y ight)−left(lim_{(x,y)→(2,−1)}6 ight). end{align*}]

Ensuite, utilisez la loi multiple constante sur les deuxième, troisième, quatrième et cinquième limites :

[egin{align*} =(lim_{(x,y)→(2,−1)}x^2)−2(lim_{(x,y)→(2,−1)}xy )+3(lim_{(x,y)→(2,−1)}y^2)−4(lim_{(x,y)→(2,−1)}x) [4pt] +3(lim_{(x,y)→(2,−1)}y)−lim_{(x,y)→(2,−1)}6.end{align*}]

Maintenant, utilisez la loi de puissance sur les première et troisième limites, et la loi de produit sur la deuxième limite :

[egin{align*} left(lim_{(x,y)→(2,−1)}x ight)^2−2left(lim_{(x,y)→(2, −1)}x ight) left(lim_{(x,y)→(2,−1)}y ight)+3left(lim_{(x,y)→(2,−1 )}y ight)^2 −4left(lim_{(x,y)→(2,−1)}x ight)+3left(lim_{(x,y)→( 2,−1)}y ight)−lim_{(x,y)→(2,−1)}6. end{align*}]

Enfin, utilisez les lois d'identité sur les six premières limites et la loi constante sur la dernière limite :

[egin{align*} lim_{(x,y)→(2,−1)}(x^2−2xy+3y^2−4x+3y−6) = (2)^2−2( 2)(−1)+3(−1)^2−4(2)+3(−1)−6 [4pt] =−6. end{align*}]

b. Avant d'appliquer la loi du quotient, nous devons vérifier que la limite du dénominateur est non nulle. En utilisant la loi de différence, la loi multiple constante et la loi d'identité,

[egin{align*} lim_{(x,y)→(2,−1)}(4x−3y) =lim_{(x,y)→(2,−1)}4x−lim_ {(x,y)→(2,−1)}3y [4pt] =4(lim_{(x,y)→(2,−1)}x)−3(lim_{(x, y)→(2,−1)}y) [4pt] =4(2)−3(−1)=11. end{align*}]

La limite du dénominateur étant non nulle, la loi du quotient s'applique. Nous calculons maintenant la limite du numérateur en utilisant la loi des différences, la loi des multiples constantes et la loi de l'identité :

[egin{align*} lim_{(x,y)→(2,−1)}(2x+3y) =lim_{(x,y)→(2,−1)}2x+lim_{ (x,y)→(2,−1)}3y [4pt] =2(lim_{(x,y)→(2,−1)}x)+3(lim_{(x,y )→(2,−1)}y) [4pt] =2(2)+3(−1)=1. end{align*}]

Par conséquent, d'après la loi du quotient, on a

[egin{align*} lim_{(x,y)→(2,−1)}dfrac{2x+3y}{4x−3y} =dfrac{displaystyle lim_{(x,y) →(2,−1)}(2x+3y)}{displaystyle lim_{(x,y)→(2,−1)}(4x−3y)} [4pt] =dfrac{1} {11}. end{align*}]

Exercice (PageIndex{1}) :

Évaluez la limite suivante :

[lim_{(x,y)→(5,−2)}sqrt[3]{dfrac{x^2−y}{y^2+x−1}}. pas de numéro]

Indice

Utilisez les lois limites.

Réponse

[displaystyle lim_{(x,y)→(5,−2)}sqrt[3]{dfrac{x^2−y}{y^2+x−1}}=dfrac{3 }{2} onuméro]

Puisque nous prenons la limite d'une fonction de deux variables, le point ((a,b)) est dans (mathbb{R}^2), et il est possible d'approcher ce point à partir d'un nombre infini d'orientations. Parfois, lors du calcul d'une limite, la réponse varie en fonction du chemin emprunté vers ((a,b)). Si tel est le cas, la limite n'existe pas. En d'autres termes, la limite doit être unique, quel que soit le chemin emprunté.

Exemple (PageIndex{2}) : limites qui n'existent pas

Montrer qu'aucune des limites suivantes n'existe :

  1. (displaystyle lim_{(x,y)→(0,0)}dfrac{2xy}{3x^2+y^2})
  2. (displaystyle lim_{(x,y)→(0,0)}dfrac{4xy^2}{x^2+3y^4})

Solution

une. Le domaine de la fonction (f(x,y)=dfrac{2xy}{3x^2+y^2}) se compose de tous les points du plan (xy) à l'exception du point (( 0,0)) (Figure (PageIndex{3})). Pour montrer que la limite n'existe pas lorsque ((x,y)) se rapproche de ((0,0)), notons qu'il est impossible de satisfaire la définition d'une limite d'une fonction de deux variables à cause de le fait que la fonction prend différentes valeurs le long de différentes lignes passant par le point ((0,0)). Tout d'abord, considérons la ligne (y=0) dans le (xy-plane.) La substitution de (y=0) dans (f(x,y)) donne

[f(x,0)=dfrac{2x(0)}{3x^2+0^2}=0 onumber]

pour toute valeur de (x). Par conséquent, la valeur de (f) reste constante pour tout point sur l'axe (x), et comme (y) s'approche de zéro, la fonction reste fixée à zéro.

Ensuite, considérons la ligne (y=x). Substituer (y=x) dans (f(x,y)) donne

[f(x,x)=dfrac{2x(x)}{3x^2+x^2}=dfrac{2x^2}{4x^2}= frac{1}{2}. pas de numéro]

Ceci est vrai pour n'importe quel point de la ligne (y=x). Si l'on laisse (x) approcher de zéro en restant sur cette ligne, la valeur de la fonction reste fixée à ( frac{1}{2}), quelle que soit la taille de (x).

Choisissez une valeur pour inférieure à (1/2)—disons, (1/4). Alors, quelle que soit la taille d'un disque (δ) autour de ((0,0)), les valeurs de (f(x,y)) pour les points à l'intérieur de ce disque (δ) seront inclure à la fois (0) et ( frac{1}{2}). Par conséquent, la définition de la limite en un point n'est jamais satisfaite et la limite n'existe pas.

b. De la même manière que a., nous pouvons approcher l'origine le long de n'importe quelle ligne droite passant par l'origine. Si nous essayons l'axe (x) (c'est-à-dire (y=0)), alors la fonction reste fixée à zéro. Il en est de même pour l'axe (y). Supposons que nous approchions de l'origine le long d'une droite de pente (k). L'équation de cette droite est (y=kx). Alors la limite devient

[egin{align*} lim_{(x,y)→(0,0)}dfrac{4xy^2}{x^2+3y^4} = lim_{(x,y)→( 0,0)}dfrac{4x(kx)^2}{x^2+3(kx)^4} = lim_{(x,y)→(0,0)}dfrac{4k^ 2x^3}{x^2+3k^4x^4} =lim_{(x,y)→(0,0)}dfrac{4k^2x}{1+3k^4x^2} = dfrac{displaystyle lim_{(x,y)→(0,0)}(4k^2x)}{displaystyle lim_{(x,y)→(0,0)}(1+3k ^4x^2)} = 0. end{align*}]

quelle que soit la valeur de (k). Il semblerait que la limite soit égale à zéro. Et si on choisissait plutôt une courbe passant par l'origine ? Par exemple, on peut considérer la parabole donnée par l'équation (x=y^2). La substitution de (y^2) à la place de (x) dans (f(x,y)) donne

[egin{align*}lim_{(x,y)→(0,0)}dfrac{4xy^2}{x^2+3y^4} = lim_{(x,y)→( 0,0)}dfrac{4(y^2)y^2}{(y^2)^2+3y^4} = lim_{(x,y)→(0,0)} dfrac{4y^4}{y^4+3y^4} = lim_{(x,y)→(0,0)}1 = 1. end{align*}]

Par la même logique dans la partie a, il est impossible de trouver un disque δ autour de l'origine qui satisfasse la définition de la limite pour toute valeur de (ε<1.) Par conséquent,

[displaystyle lim_{(x,y)→(0,0)}dfrac{4xy^2}{x^2+3y^4} onumber]

Est-ce que ne pas exister.

Exercice (PageIndex{2}) :

Montre CA

[lim_{(x,y)→(2,1)}dfrac{(x−2)(y−1)}{(x−2)^2+(y−1)^2} onumber ]

n'existe pas.

Indice

Choisissez une droite de pente (k) passant par le point ((2,1).)

Réponse

Si (y=k(x−2)+1,) alors (lim_{(x,y)→(2,1)}dfrac{(x−2)(y−1)}{( x−2)^2+(y−1)^2}=dfrac{k}{1+k^2}). Puisque la réponse dépend de (k,), la limite n'existe pas.

Points intérieurs et points limites

Pour étudier la continuité et la différentiabilité d'une fonction de deux ou plusieurs variables, nous devons d'abord apprendre une nouvelle terminologie.

Définition : points intérieurs et limites

Soit (S) un sous-ensemble de (mathbb{R}^2) (Figure (PageIndex{4})).

  1. Un point (P_0) est appelé un pointe intérieure de (S) s'il existe un disque (δ) centré autour de (P_0) contenu entièrement dans (S).
  2. Un point (P_0) est appelé un point limite de (S) si chaque disque (δ) centré autour de (P_0) contient des points à la fois à l'intérieur et à l'extérieur de (S).

Définition : ensembles ouverts et fermés

Soit (S) un sous-ensemble de (mathbb{R}^2) (Figure (PageIndex{4})).

  1. (S) est appelé un ensemble ouvert si tout point de (S) est un point intérieur.
  2. (S) est appelé un ensemble fermé s'il contient tous ses points limites.

Un exemple d'ensemble ouvert est un disque (δ). Si nous incluons la limite du disque, alors il devient un ensemble fermé. Un ensemble qui contient certains, mais pas tous, de ses points limites n'est ni ouvert ni fermé. Par exemple, si nous incluons la moitié de la frontière d'un disque (δ) mais pas l'autre moitié, alors l'ensemble n'est ni ouvert ni fermé.

Définition : ensembles connectés et régions

Soit (S) un sous-ensemble de (mathbb{R}^2) (Figure (PageIndex{4})).

  1. Un ouvert (S) est un ensemble connecté s'il ne peut pas être représenté comme l'union de deux ou plusieurs sous-ensembles ouverts disjoints et non vides.
  2. Un ensemble (S) est un Région s'il est ouvert, connecté et non vide.

La définition d'une limite d'une fonction à deux variables nécessite que le disque (δ) soit contenu dans le domaine de la fonction. Cependant, si l'on souhaite trouver la limite d'une fonction en un point limite du domaine, le (δ) disque n'est pas contenu dans le domaine. Par définition, certains des points du (δ) disque sont à l'intérieur du domaine et certains sont à l'extérieur. Par conséquent, nous n'avons qu'à considérer les points qui sont à la fois à l'intérieur du disque (δ) et du domaine de la fonction. Cela conduit à la définition de la limite d'une fonction à un point frontière.

Définition

Soit (f) une fonction de deux variables, (x) et (y), et supposons que ((a,b)) soit sur la frontière du domaine de (f). Alors, la limite de (f(x,y)) lorsque ((x,y)) s'approche de ((a,b)) est (L), écrite

[lim_{(x,y)→(a,b)}f(x,y)=L,]

si pour tout (ε>0,) il existe un nombre (δ>0) tel que pour tout point ((x,y)) à l'intérieur du domaine de (f) et dans un distance positive (δ) de ((a,b),) la valeur de (f(x,y)) n'est pas supérieure à (ε) de (L) (Figure (IndexPage{2})). En utilisant des symboles, on peut écrire : Pour tout (ε>0), il existe un nombre (δ>0) tel que

[|f(x,y)−L|<ε, ext{whenever}, 0

Exemple (PageIndex{3}): Limite d'une fonction à un point limite

Prouver

[lim_{(x,y)→(4,3)}sqrt{25−x^2−y^2}=0. pas de numéro]

Solution

Le domaine de la fonction (f(x,y)=sqrt{25−x^2−y^2}) est (ig{(x,y)∈mathbb{R}^2∣ x^2+y^2≤25ig}), qui est un cercle de rayon (5) centré à l'origine, avec son intérieur comme le montre la figure (PageIndex{5}).

On peut utiliser les lois limites, qui s'appliquent aux limites à la frontière des domaines ainsi qu'aux points intérieurs :

[egin{align*} lim_{(x,y)→(4,3)}sqrt{25−x^2−y^2} =sqrt{lim_{(x,y)→( 4,3)}(25−x^2−y^2)} = sqrt{lim_{(x,y)→(4,3)}25−lim_{(x,y)→( 4,3)}x^2−lim_{(x,y)→(4,3)}y^2} =sqrt{25−4^2−3^2} = 0 end {aligner*}]

Voir le graphique suivant.

Exercice (PageIndex{3})

Évaluez la limite suivante :

[lim_{(x,y)→(5,−2)}sqrt{29−x^2−y^2}. pas de numéro]

Indice

Déterminer le domaine de (f(x,y)=sqrt{29−x^2−y^2}).

Réponse

[lim_{(x,y)→(5,−2)}sqrt{29−x^2−y^2} onumber]

Continuité des fonctions de deux variables

Dans Continuité, nous avons défini la continuité d'une fonction d'une variable et vu comment elle reposait sur la limite d'une fonction d'une variable. En particulier, trois conditions sont nécessaires pour que (f(x)) soit continue au point (x=a)

  1. (f(a)) existe.
  2. (displaystyle lim_{x→a}f(x)) existe.
  3. (displaystyle lim_{x→a}f(x)=f(a).)

Ces trois conditions sont également nécessaires à la continuité d'une fonction de deux variables.

Définition : fonctions continues

Une fonction (f(x,y)) est continue en un point ((a,b)) de son domaine si les conditions suivantes sont satisfaites :

  1. (f(a,b)) existe.
  2. (displaystyle lim_{(x,y)→(a,b)}f(x,y)) existe.
  3. (displaystyle lim_{(x,y)→(a,b)}f(x,y)=f(a,b).)

Exemple (PageIndex{4}): Démonstration de la continuité pour une fonction de deux variables

Montrer que la fonction

[f(x,y)=dfrac{3x+2y}{x+y+1} onumber]

est continue au point ((5,−3).)

Solution

Il y a trois conditions à remplir, selon la définition de la continuité. Dans cet exemple, (a=5) et (b=−3.)

1. (f(a,b)) existe. Cela est vrai parce que le domaine de la fonction f est constitué des paires ordonnées dont le dénominateur est non nul (c'est-à-dire (x+y+1≠0)). Le point ((5,−3)) satisfait cette condition. Par ailleurs,

[f(a,b)=f(5,−3)=dfrac{3(5)+2(−3)}{5+(−3)+1}=dfrac{15−6}{ 2+1}=3. pas de numéro]

2. (displaystyle lim_{(x,y)→(a,b)}f(x,y)) existe. C'est aussi vrai :

[egin{align*} lim_{(x,y)→(a,b)}f(x,y) =lim_{(x,y)→(5,−3)}dfrac{3x +2y}{x+y+1} =dfrac{displaystyle lim_{(x,y)→(5,−3)}(3x+2y)}{displaystyle lim_{(x,y )→(5,−3)}(x+y+1)} = dfrac{15−6}{5−3+1} = 3. end{align*} onumber]

3. (displaystyle lim_{(x,y)→(a,b)}f(x,y)=f(a,b).) Ceci est vrai car nous venons de montrer que les deux équation égale trois.

Exercice (PageIndex{4})

Montrer que la fonction

[f(x,y)=sqrt{26−2x^2−y^2} onumber ]

est continue au point ((2,−3)).

Indice

Utilisez la définition en trois parties de la continuité.

Réponse
  1. Le domaine de (f) contient la paire ordonnée ((2,−3)) car (f(a,b)=f(2,−3)=sqrt{16−2(2)^ 2−(−3)^2}=3)
  2. (displaystyle lim_{(x,y)→(a,b)}f(x,y)=3)
  3. (displaystyle lim_{(x,y)→(a,b)}f(x,y)=f(a,b)=3)

La continuité d'une fonction d'un nombre quelconque de variables peut également être définie en termes de delta et epsilon. Une fonction de deux variables est continue en un point ((x_0,y_0)) de son domaine si pour tout (ε>0) il existe un (δ>0) tel que, chaque fois que (sqrt {(x−x_0)^2+(y−y_0)^2}<δ) c'est vrai, (|f(x,y)−f(a,b)|<ε.) Cette définition peut être combiné avec la définition formelle (c'est-à-dire la définition epsilon-delta) de continuité d'une fonction d'une variable pour prouver les théorèmes suivants :

La somme des fonctions continues est continue

Si (f(x,y)) est continu en ((x_0,y_0)), et (g(x,y)) est continu en ((x_0,y_0)), alors (f(x,y)+g(x,y)) est continue en ((x_0,y_0)).

Le produit des fonctions continues est continu

Si (g(x)) est continu en (x_0) et (h(y)) est continu en (y_0), alors (f(x,y)=g(x)h (y)) est continue en ((x_0,y_0).)

La composition des fonctions continues est continue

Soit (g) une fonction de deux variables d'un domaine (D⊆mathbb{R}^2) à un intervalle (R⊆R.) Supposons que (g) soit continu en un point ((x_0,y_0)∈D) et définissez (z_0=g(x_0,y_0)). Soit f une fonction qui mappe (R) sur (R) telle que (z_0) soit dans le domaine de (f). Enfin, supposons que (f) est continu en (z_0). Alors (f∘g) est continu en ((x_0,y_0)) comme le montre la figure (PageIndex{7}).

Utilisons maintenant les théorèmes précédents pour montrer la continuité des fonctions dans les exemples suivants.

Exemple (PageIndex{5}): Plus d'exemples de continuité d'une fonction de deux variables

Montrer que les fonctions (f(x,y)=4x^3y^2) et (g(x,y)=cos(4x^3y^2)) sont continues partout.

Solution

Les polynômes (g(x)=4x^3) et (h(y)=y^2) sont continus en tout réel, et donc par le produit du théorème des fonctions continues, (f(x, y)=4x^3y^2) est continue en tout point ((x,y)) dans le plan (xy). Puisque (f(x,y)=4x^3y^2) est continue en tout point ((x,y)) dans le plan (xy) et (g(x)=cos x) est continue en tout réel (x), la continuité de la composition des fonctions nous dit que (g(x,y)=cos(4x^3y^2)) est continue en tout point ((x,y)) dans le plan (xy).

Exercice (PageIndex{5})

Montrer que les fonctions (f(x,y)=2x^2y^3+3) et (g(x,y)=(2x^2y^3+3)^4) sont continues partout.

Indice

Utilisez la continuité de la somme, du produit et de la composition de deux fonctions.

Réponse

Les polynômes (g(x)=2x^2) et (h(y)=y^3) sont continus en tout réel ; par conséquent, par le produit du théorème des fonctions continues, (f(x,y)=2x^2y^3) est continue en tout point ((x,y)) dans le plan (xy). De plus, toute fonction constante est continue partout, donc (g(x,y)=3) est continue en tout point ((x,y)) dans le plan (xy). Par conséquent, (f(x,y)=2x^2y^3+3) est continue en tout point ((x,y)) dans le plan (xy). Enfin, (h(x)=x^4) est continue en tout réel (x), donc par le théorème de continuité des fonctions composées (g(x,y)=(2x^2y^3+ 3)^4) est continue en tout point ((x,y)) dans le plan (xy).

Fonctions de trois variables ou plus

La limite d'une fonction de trois variables ou plus se produit facilement dans les applications. Par exemple, supposons que nous ayons une fonction (f(x,y,z)) qui donne la température à un emplacement physique ((x,y,z)) en trois dimensions. Ou peut-être qu'une fonction (g(x,y,z,t)) peut indiquer la pression atmosphérique à un endroit ((x,y,z)) au temps (t). Comment pouvons-nous prendre une limite en un point dans (mathbb{R}^3) ? Que signifie être continu en un point en quatre dimensions ?

Les réponses à ces questions reposent sur l'extension du concept de disque (δ) à plus de deux dimensions. Ensuite, les notions de limite d'une fonction de trois variables ou plus et de continuité d'une fonction de trois variables ou plus sont très proches des définitions données précédemment pour une fonction de deux variables.

Définition : (δ)-boules

Soit ((x_0,y_0,z_0)) un point dans (mathbb{R}^3). Alors, une (δ)-boule en trois dimensions est constituée de tous les points de (mathbb{R}^3) situés à une distance inférieure à (δ) de ((x_0,y_0,z_0 )) -C'est,

[ig{(x,y,z)∈mathbb{R}^3∣sqrt{(x−x_0)^2+(y−y_0)^2+(z−z_0)^2}< δgrand}.]

Pour définir une (δ)-boule dans des dimensions supérieures, ajoutez des termes supplémentaires sous le radical pour correspondre à chaque dimension supplémentaire. Par exemple, étant donné un point (P=(w_0,x_0,y_0,z_0)) dans (mathbb{R}^4), une boule (δ) autour de (P) peut être décrite par

[ig{(w,x,y,z)∈mathbb{R}^4∣sqrt{(w−w_0)^2+(x−x_0)^2+(y−y_0)^2 +(z−z_0)^2}<δgrand}.]

Pour montrer qu'une limite d'une fonction à trois variables existe en un point ((x_0,y_0,z_0)), il suffit de montrer que pour tout point d'une boule (δ) centrée en ((x_0, y_0,z_0)), la valeur de la fonction à ce point est arbitrairement proche d'une valeur fixe (la valeur limite). Toutes les lois limites pour les fonctions de deux variables sont également valables pour les fonctions de plus de deux variables.

Exemple (PageIndex{6}): Recherche de la limite d'une fonction de trois variables

Trouver

[lim_{(x,y,z)→(4,1,−3)}dfrac{x^2y−3z}{2x+5y−z}. pas de numéro]

Solution

Avant de pouvoir appliquer la loi du quotient, nous devons vérifier que la limite du dénominateur est non nulle. En utilisant la loi de différence, la loi d'identité et la loi constante,

[egin{align*}lim_{(x,y,z)→(4,1,−3)}(2x+5y−z) =2(lim_{(x,y,z)→( 4,1,−3)}x)+5(lim_{(x,y,z)→(4,1,−3)}y)−(lim_{(x,y,z)→(4 ,1,−3)}z) = 2(4)+5(1)−(−3) = 16. end{align*}]

Comme ce n'est pas nul, nous trouvons ensuite la limite du numérateur. En utilisant la loi des produits, la loi de puissance, la loi de différence, la loi multiple constante et la loi d'identité,

[egin{align*} lim_{(x,y,z)→(4,1,−3)}(x^2y−3z) =(lim_{(x,y,z)→(4 ,1,−3)}x)^2(lim_{(x,y,z)→(4,1,−3)}y)−3lim_{(x,y,z)→(4, 1,−3)}z =(4^2)(1)−3(−3) = 16+9 = 25 end{align*}]

Enfin, en appliquant la loi du quotient :

[lim_{(x,y,z)→(4,1,−3)}dfrac{x^2y−3z}{2x+5y−z}=dfrac{displaystyle lim_{(x, y,z)→(4,1,−3)}(x^2y−3z)}{displaystyle lim_{(x,y,z)→(4,1,−3)}(2x+5y− z)}=dfrac{25}{16} onumber]

Exercice (PageIndex{6})

Trouver

[lim_{(x,y,z)→(4,−1,3)}sqrt{13−x^2−2y^2+z^2} onumber]

Indice

Utiliser les lois limites et la continuité de la composition des fonctions.

Réponse

[lim_{(x,y,z)→(4,−1,3)}sqrt{13−x^2−2y^2+z^2}=2 onumber]

Concepts clés

  • Pour étudier les limites et la continuité des fonctions de deux variables, on utilise un disque (δ) centré autour d'un point donné.
  • Une fonction de plusieurs variables a une limite si pour tout point d'une boule (δ) centrée en un point (P), la valeur de la fonction en ce point est arbitrairement proche d'une valeur fixe (la valeur limite) .
  • Les lois limites établies pour une fonction d'une variable ont des extensions naturelles aux fonctions de plus d'une variable.
  • Une fonction de deux variables est continue en un point si la limite existe en ce point, la fonction existe en ce point et la limite et la fonction sont égales en ce point.

Glossaire

point limite
un point (P_0) de (R) est un point limite si chaque disque (δ) centré autour de (P_0) contient des points à la fois à l'intérieur et à l'extérieur de (R)
ensemble fermé
un ensemble (S) qui contient tous ses points limites
ensemble connecté
un ouvert (S) qui ne peut pas être représenté comme l'union de deux ou plusieurs sous-ensembles ouverts disjoints et non vides
(δ) disque
un disque ouvert de rayon (δ) centré au point ((a,b))
(δ) Balle
tous les points de (mathbb{R}^3) situés à une distance inférieure à (δ) de ((x_0,y_0,z_0))
pointe intérieure
un point (P_0) de (mathbb{R}) est un point limite s'il existe un disque (δ) centré autour de (P_0) contenu complètement dans (mathbb{R})
ensemble ouvert
un ensemble (S) qui ne contient aucun de ses points limites
Région
un sous-ensemble ouvert, connecté et non vide de (mathbb{R}^2)

Exemples

Exemple 1

Auparavant, on vous a demandé de déterminer si Louis calculait correctement son travail.

Nous devons d'abord changer l'équation en forme standard. Ensuite, nous pouvons le factoriser.

Toutes les solutions sont imaginaires et l'aire d'un rectangle doit avoir des solutions réelles. Donc Louis n'a pas calculé correctement.

Exemple 2

Trouvez toutes les solutions de la fonction suivante : f(x)=25x3&minus120x2+81x&minus4.

En utilisant le théorème de la racine rationnelle, les zéros réalistes possibles pourraient être 1 /25, 1 ou 4. Essayons ces trois possibilités en utilisant la division synthétique.

De ces trois possibilités, seulement 4 est un zéro. Le reste polynôme, 25x 2 &moins20x+1 n'est pas factorisable, nous devons donc utiliser la formule quadratique pour trouver les deux derniers zéros.

Conseil utile: Trouvez toujours les valeurs décimales de chaque zéro pour vous assurer qu'elles correspondent au graphique.

Exemple 3

Trouvez toutes les solutions de la fonction suivante : f(x)=4x 4 +35x 2 &moins9.

f(x)=4x 4 +35x 2 &moins9 est factorisable. ac=&moins36.

En fixant chaque facteur égal à zéro, nous avons :

Exemple 4

Trouvez l'équation d'une fonction de racines 4, 2 0,5 et 1&moinsi.

Rappelez-vous que les racines irrationnelles et imaginaires viennent par paires. Par conséquent, toutes les racines sont 4, 2 0,5 ,&moins2 0,5 ,1+i,1&moinsi. Multipliez les 5 racines ensemble.


Continuité mondiale

On dit qu'une fonction est continu s'il est continu en tout point du domaine. Par définition, il est clair que la continuité en un point spécifique est déterminée par ce qui se passe à proximité de ce point. À cette fin, définissons des ensembles ouverts.

Définitions. Soit n'importe quel sous-ensemble. Une balle ouverte contenant est l'ensemble des points :

pour certains ε>0. [ Notez que la définition dépend de D, bien que la notation ne reflète pas cela. S'il y a une possibilité de confusion, nous l'écrirons comme . ]

Un sous-ensemble est dit sous-ensemble ouvert de D si pour chaque , on a pour certains ε>0.

Par exemple. chaque balle ouverte U := N(une, ε) est ouvert, car si X est dans U, alors |Xune|<ε, donc on laisse δ = ε-|Xune|. Nous le prétendons. En effet, tout oui dans N(X, ) satisfait |ouiX|<δ donc

|ouiune| ≤ |ouiX| + |Xune| < δ+|Xune| = .

Plus d'exemples de sous-ensembles ouverts

  1. Laisser = R. Alors tout intervalle ouvert (b, c) est un sous-ensemble ouvert de puisque c'est un bal ouvert. Le quartier crevé (b, c) – <une> est également un sous-ensemble ouvert de puisqu'il s'agit d'une union de deux balles ouvertes. L'intervalle semi-ouvert U = (b, c] n'est pas ouvert dans depuis le point c dans U n'est contenu dans aucune boule ouverte de R qui est un sous-ensemble de U. [ Toute boule ouverte contenant c est de la forme (c-ε, c+ε), qui contient des points à l'extérieur U. ]
  2. Laisser . Le sous-ensemble U = [0, 1] est maintenant un sous-ensemble ouvert de . Cela peut dérouter le lecteur à première vue, mais notez que même si nous choisissons le point final 1 (dans U), nous pouvons choisir la balle ouverte N(1, 1/2) dans . Par définition, c'est l'ensemble , donc c'est (1/2, 1] qui est entièrement contenu dans U. De même, le sous-ensemble singleton V = <2>est également un sous-ensemble de , puisque la boule ouverte N(2, 1/2) = <2>est entièrement contenu dans U.
    • Lequel des sous-ensembles [0, 1), (0, 1], <1>, [0, 1/2), (0, 1/2] est ouvert dans ? [Réponse : le premier, le deuxième, le quatrième. ]

Voici d'autres exemples de sous-ensembles ouverts, où est coloré en bleu et U en rouge.

Dans les deux premiers exemples, tandis que dans les deux autres, . Les lignes de délimitation en pointillés indiquent que les limites ne sont pas incluses dans U.

Le théorème principal que nous souhaitons démontrer est :

Théorème. Soit une fonction, où . Alors f est continue si et seulement si pour chaque sous-ensemble ouvert , est un sous-ensemble ouvert de D.

Supposer F est continue. Pour montrer qui est ouvert dans , laisser . Depuis F(une) est dans U qui est ouvert, il existe un >0 tel que N(F(une), ε) est un sous-ensemble de U. Et depuis F est continue à une, il existe un δ>0 tel que chaque fois |Xune|<δ et X dans , nous avons |F(X)-F(une)|<ε. D'où

ce qui montre qu'il est ouvert dans .

Inversement, suppose est ouvert pour tout sous-ensemble ouvert . Montrer F est continue à une (un élément de ), soit ε>0. Puisque est ouvert, il en va de même pour . Mais , donc par définition des sous-ensembles ouverts, il existe δ>0 pour lequel

donc à chaque fois |Xune|<δ et X dans , nous avons |F(X)-F(une)|<ε. ♦

Point principal. Le théorème ci-dessus suggère que le concept central derrière l'analyse est celui de sous-ensembles ouverts. En effet, l'idée centrale derrière la topologie est de construire une théorie entière basée uniquement sur le concept de sous-ensembles ouverts. Cela sera détaillé dans les prochains articles.

Exercices importants.

  1. Trouver une fonction continue F : RR et un sous-ensemble ouvert U de R tel que F(U) n'est pas ouvert dans R.
  2. Prouvez que si U et V sont des sous-ensembles ouverts de , alors c'est aussi UV. En particulier, cela signifie que les intersections finies de sous-ensembles ouverts sont toujours ouvertes.
  3. Démontrer que si <Uje> est une collection de sous-ensembles ouverts de , alors c'est pareil.
  4. Supposons.
    1. Prouvez que si U est ouvert dans , ensuite V := UE est ouvert dans E.
    2. Démontrer qu'inversement, si V est ouvert dans E, ensuite V = UE pour certains sous-ensembles ouverts U de .

    [ Note : pour le T4, attention à la notation N(une, ε) puisque l'espace ambiant peut être soit ou alors E. ]


    Limites et continuité.

    f(0) = $frac<1><<2.0>>$ = $frac<1><0>$ = n'existe pas.

    Par conséquent, f(x) est discontinu en x = 0.

    Donc, f(x) est continue en x = a &ne 2.

    Remarque : puisque a &ne 2, donc a &ndash 2 &ne 0 et donc $frac<1><<< m> - 2>>$ est un nombre fini.

    Donc,f(x) est continue en x = a &ne 0.

    f(1) = $frac<1><<1 - 1>>$ = $frac<1><0>$ qui n'existe pas.

    Donc, f(x) est discontinue en x = 3.

    Donc, f(x) est continue en x = 3.

    Remarque : puisque a &ne 2, donc a &ndash 2 &ne 0 et donc $frac<1><<< m> - 2>>$ est un nombre fini.

    Donc, f(x) est discontinue en x = 4.

    Remarque : puisque a &ne 2, donc a &ndash 2 &ne 0 et donc $frac<1><<< m> - 2>>$ est un nombre fini.

    Donc, f(x) est continue en x = 2.

    Donc, f(x) est continue en x = 2.

    Donc, f(x) est continue en x = 3.

    Donc, f(x) est discontinu en x = 1.

    Donc, f(x) est continue en x = 5.

    Donc, f(x) est discontinue en x = 2.

    Ainsi, la fonction donnée sera continue si f(x) est redéfini comme suit :


    4.2 Limites et continuité

    Nous avons maintenant examiné les fonctions de plus d'une variable et vu comment les représenter graphiquement. Dans cette section, nous voyons comment prendre la limite d'une fonction de plus d'une variable, et ce que cela signifie pour une fonction de plus d'une variable d'être continue en un point de son domaine. Il s'avère que ces concepts ont des aspects qui ne se produisent tout simplement pas avec les fonctions d'une variable.

    Limite d'une fonction de deux variables

    Rappelez-vous de La limite d'une fonction la définition d'une limite d'une fonction d'une variable :

    Avant de pouvoir adapter cette définition pour définir une limite d'une fonction de deux variables, nous devons d'abord voir comment étendre l'idée d'un intervalle ouvert dans une variable à un intervalle ouvert dans deux variables.

    Définition

    comme le montre le graphique suivant.

    Dans plus d'une dimension, nous utilisons un disque δ δ.

    Définition

    Prouver qu'une limite existe en utilisant la définition d'une limite d'une fonction de deux variables peut être difficile. Au lieu de cela, nous utilisons le théorème suivant, qui nous donne des raccourcis pour trouver des limites. Les formules de ce théorème sont une extension des formules du théorème des lois limites dans Les lois limites.

    Lois limites pour les fonctions de deux variables

    Loi constante :

    Lois sur l'identité :

    Loi de la différence :

    Loi multiple constante :

    Droit des produits :

    Loi du quotient :

    pour tout entier positif n . n.

    Les preuves de ces propriétés sont similaires à celles des limites des fonctions d'une variable. Nous pouvons appliquer ces lois pour trouver les limites de diverses fonctions.

    Exemple 4.8

    Trouver la limite d'une fonction de deux variables

    Trouvez chacune des limites suivantes :

    Solution

    Évaluez la limite suivante :

    Exemple 4.9

    Des limites qui n'existent pas

    Montrer qu'aucune des limites suivantes n'existe :

    Solution

    1. Le domaine de la fonction f ( x , y ) = 2 xy 3 x 2 + y 2 f ( x , y ) = 2 xy 3 x 2 + y 2 se compose de tous les points du xy -plan xy -plan sauf le point ( 0 , 0 ) ( 0 , 0 ) (Figure 4.16). Pour montrer que la limite n'existe pas lorsque ( x , y ) ( x , y ) s'approche de ( 0 , 0 ) , ( 0 , 0 ) , notons qu'il est impossible de satisfaire la définition d'une limite d'une fonction de deux variables en raison du fait que la fonction prend différentes valeurs le long de différentes lignes passant par le point (0, 0). (0, 0). Tout d'abord, considérons la ligne y = 0 y = 0 dans le plan x y. x y -plan. La substitution de y = 0 y = 0 dans f ( x , y ) f ( x , y ) donne

    Points intérieurs et points limites

    Pour étudier la continuité et la différentiabilité d'une fonction de deux ou plusieurs variables, nous devons d'abord apprendre une nouvelle terminologie.

    Définition

    Définition

    Définition

    Définition

    Exemple 4.10

    Limite d'une fonction à un point limite

    Démontrer lim ( x , y ) → ( 4 , 3 ) 25 − x 2 − y 2 = 0 . lim ( x , y ) → ( 4 , 3 ) 25 − x 2 − y 2 = 0 .

    Solution

    On peut utiliser les lois limites, qui s'appliquent aux limites à la frontière des domaines ainsi qu'aux points intérieurs :

    Évaluez la limite suivante :

    Continuité des fonctions de deux variables

    Dans Continuité, nous avons défini la continuité d'une fonction d'une variable et vu comment elle reposait sur la limite d'une fonction d'une variable. En particulier, trois conditions sont nécessaires pour que f ( x ) f ( x ) soit continue au point x = a : x = a :

    Ces trois conditions sont également nécessaires à la continuité d'une fonction de deux variables.

    Définition

    Exemple 4.11

    Démonstration de la continuité pour une fonction de deux variables

    Montrer que la fonction f ( x , y ) = 3 x + 2 y x + y + 1 f ( x , y ) = 3 x + 2 y x + y + 1 est continue au point ( 5 , −3 ) . ( 5 , -3 ) .

    Solution

    Il y a trois conditions à remplir, selon la définition de la continuité. Dans cet exemple, a = 5 a = 5 et b = -3 . b = -3 .

    Montrer que la fonction f ( x , y ) = 26 − 2 x 2 − y 2 f ( x , y ) = 26 − 2 x 2 − y 2 est continue au point ( 2 , −3 ) . ( 2 , -3 ) .

    La somme des fonctions continues est continue

    Le produit des fonctions continues est continu

    La composition des fonctions continues est continue

    Utilisons maintenant les théorèmes précédents pour montrer la continuité des fonctions dans les exemples suivants.

    Exemple 4.12

    Plus d'exemples de continuité d'une fonction de deux variables

    Solution

    Fonctions de trois variables ou plus

    Définition

    Exemple 4.13

    Trouver la limite d'une fonction de trois variables

    Trouver lim ( x , y , z ) → ( 4 , 1 , −3 ) x 2 y − 3 z 2 x + 5 y − z . lim ( x , y , z ) → ( 4 , 1 , −3 ) x 2 y − 3 z 2 x + 5 y − z .

    Solution

    Avant de pouvoir appliquer la loi du quotient, nous devons vérifier que la limite du dénominateur est non nulle. En utilisant la loi de différence, la loi d'identité et la loi constante,

    Comme ce n'est pas nul, nous trouvons ensuite la limite du numérateur. En utilisant la loi des produits, la loi des différences, la loi multiple constante et la loi d'identité,

    Enfin, en appliquant la loi du quotient :

    Trouver lim ( x , y , z ) → ( 4 , −1 , 3 ) 13 − x 2 − 2 y 2 + z 2 . lim ( x , y , z ) → ( 4 , −1 , 3 ) 13 − x 2 − 2 y 2 + z 2 .

    Section 4.2 Exercices

    Pour les exercices suivants, trouvez la limite de la fonction.

    lim ( x , y ) → ( 1 , 2 ) 5 x 2 y x 2 + y 2 lim ( x , y ) → ( 1 , 2 ) 5 x 2 y x 2 + y 2

    Pour les exercices suivants, évaluez les limites aux valeurs indiquées de x et y . x et y. Si la limite n'existe pas, indiquez-le et expliquez pourquoi la limite n'existe pas.

    lim ( x , y ) → ( 0 , 0 ) 4 x 2 + 10 y 2 + 4 4 x 2 − 10 y 2 + 6 lim ( x , y ) → ( 0 , 0 ) 4 x 2 + 10 y 2 + 4 4 x 2 − 10 y 2 + 6

    lim ( x , y ) → ( 11 , 13 ) 1 x y lim ( x , y ) → ( 11 , 13 ) 1 x y

    lim ( x , y ) → ( 0 , 1 ) y 2 sin x x lim ( x , y ) → ( 0 , 1 ) y 2 sin x x

    lim ( x , y ) → ( 0 , 0 ) sin ( x 8 + y 7 x − y + 10 ) lim ( x , y ) → ( 0 , 0 ) sin ( x 8 + y 7 x − y + 10 )

    lim ( x , y ) → ( / 4 , 1 ) y tan x y + 1 lim ( x , y ) → ( π / 4 , 1 ) y tan x y + 1

    lim ( x , y ) → ( 0 , / 4 ) sec x + 2 3 x − tan y lim ( x , y ) → ( 0 , π / 4 ) sec x + 2 3 x − tan y

    lim ( x , y ) → ( 2 , 5 ) ( 1 x − 5 y ) lim ( x , y ) → ( 2 , 5 ) ( 1 x − 5 y )

    lim ( x , y ) → ( 4 , 4 ) x ln y lim ( x , y ) → ( 4 , 4 ) x ln y

    lim ( x , y ) → ( 4 , 4 ) e − x 2 − y 2 lim ( x , y ) → ( 4 , 4 ) e − x 2 − y 2

    lim ( x , y ) → ( 0 , 0 ) 9 − x 2 − y 2 lim ( x , y ) → ( 0 , 0 ) 9 − x 2 − y 2

    lim ( x , y ) → ( 1 , 2 ) ( x 2 y 3 − x 3 y 2 + 3 x + 2 y ) lim ( x , y ) → ( 1 , 2 ) ( x 2 y 3 − x 3 y 2 + 3 x + 2 ans )

    lim ( x , y ) → ( , ) x sin ( x + y 4 ) lim ( x , y ) → ( π , ) x sin ( x + y 4 )

    lim ( x , y ) → ( 0 , 0 ) x y + 1 x 2 + y 2 + 1 lim ( x , y ) → ( 0 , 0 ) x y + 1 x 2 + y 2 + 1

    lim ( x , y ) → ( 0 , 0 ) x 2 + y 2 x 2 + y 2 + 1 − 1 lim ( x , y ) → ( 0 , 0 ) x 2 + y 2 x 2 + y 2 + 1 − 1

    lim ( x , y ) → ( 0 , 0 ) ln ( x 2 + y 2 ) lim ( x , y ) → ( 0 , 0 ) ln ( x 2 + y 2 )

    Pour les exercices suivants, complétez l'énoncé.

    Pour les exercices suivants, utilisez des techniques algébriques pour évaluer la limite.

    lim ( x , y ) → ( 2 , 1 ) x − y − 1 x − y − 1 lim ( x , y ) → ( 2 , 1 ) x − y − 1 x − y − 1

    lim ( x , y ) → ( 0 , 0 ) x 4 − 4 y 4 x 2 + 2 y 2 lim ( x , y ) → ( 0 , 0 ) x 4 − 4 y 4 x 2 + 2 y 2

    lim ( x , y ) → ( 0 , 0 ) x 3 − y 3 x − y lim ( x , y ) → ( 0 , 0 ) x 3 − y 3 x − y

    lim ( x , y ) → ( 0 , 0 ) x 2 − x y x − y lim ( x , y ) → ( 0 , 0 ) x 2 − x y x − y

    Pour les exercices suivants, évaluez les limites des fonctions de trois variables.

    lim ( x , y , z ) → ( 1 , 2 , 3 ) x z 2 − y 2 z x y z − 1 lim ( x , y , z ) → ( 1 , 2 , 3 ) x z 2 − y 2 z x y z − 1

    lim ( x , y , z ) → ( 0 , 0 , 0 ) x 2 − y 2 − z 2 x 2 + y 2 − z 2 lim ( x , y , z ) → ( 0 , 0 , 0 ) x 2 − y 2 − z 2 x 2 + y 2 − z 2

    Pour les exercices suivants, évaluez la limite de la fonction en déterminant la valeur que la fonction approche le long des chemins indiqués. Si la limite n'existe pas, expliquez pourquoi.

    lim ( x , y ) → ( 0 , 0 ) x y + y 3 x 2 + y 2 lim ( x , y ) → ( 0 , 0 ) x y + y 3 x 2 + y 2

    lim ( x , y ) → ( 0 , 0 ) x 2 y x 4 + y 2 lim ( x , y ) → ( 0 , 0 ) x 2 y x 4 + y 2

    Discutez de la continuité des fonctions suivantes. Trouvez la plus grande région dans le plan x y x y -plan dans laquelle les fonctions suivantes sont continues.

    Pour les exercices suivants, déterminez la région dans laquelle la fonction est continue. Expliquez votre réponse.

    (Indice: Montrez que la fonction approche des valeurs différentes le long de deux chemins différents.)

    f ( x , y ) = sin ( x 2 + y 2 ) x 2 + y 2 f ( x , y ) = sin ( x 2 + y 2 ) x 2 + y 2

    Déterminez si g ( x , y ) = x 2 − y 2 x 2 + y 2 g ( x , y ) = x 2 − y 2 x 2 + y 2 est continue en (0 , 0 ) . (0, 0).

    Créez un tracé à l'aide d'un logiciel graphique pour déterminer où la limite n'existe pas. Déterminez la région du plan de coordonnées dans laquelle f ( x , y ) = 1 x 2 − y f ( x , y ) = 1 x 2 − y est continue.

    En quels points de l'espace g ( x , y , z ) = x 2 + y 2 − 2 z 2 g ( x , y , z ) = x 2 + y 2 − 2 z 2 continu ?

    En quels points de l'espace g ( x , y , z ) = 1 x 2 + z 2 − 1 g ( x , y , z ) = 1 x 2 + z 2 − 1 continu ?

    Utilisez les coordonnées polaires pour trouver lim ( x , y ) → ( 0 , 0 ) sin x 2 + y 2 x 2 + y 2 . lim ( x , y ) → ( 0 , 0 ) sin x 2 + y 2 x 2 + y 2 . Vous pouvez également trouver la limite en utilisant la règle de L'Hôpital.

    Utilisez les coordonnées polaires pour trouver lim ( x , y ) → ( 0 , 0 ) cos ( x 2 + y 2 ) . lim ( x , y ) → ( 0 , 0 ) cos ( x 2 + y 2 ) .

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      • Auteurs : Gilbert Strang, Edwin « Jed » Herman
      • Éditeur/site Web : OpenStax
      • Titre du livre : Calculus Volume 3
      • Date de parution : 30 mars 2016
      • Lieu : Houston, Texas
      • URL du livre : https://openstax.org/books/calculus-volume-3/pages/1-introduction
      • URL de la section : https://openstax.org/books/calculus-volume-3/pages/4-2-limits-and-continuity

      © 21 décembre 2020 OpenStax. Le contenu des manuels produit par OpenStax est sous licence Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike License 4.0. Le nom OpenStax, le logo OpenStax, les couvertures de livres OpenStax, le nom OpenStax CNX et le logo OpenStax CNX ne sont pas soumis à la licence Creative Commons et ne peuvent être reproduits sans le consentement écrit préalable et exprès de Rice University.


      Votre erreur est de supposer à tort que $g( heta) = dfrac$ est borné.

      Il a une discontinuité à $ heta = pi/4$ donc il n'est pas borné.
      Par conséquent, vous ne pouvez pas conclure $ limlimits_f(r) g( heta)=0$

      Notez que prendre la limite comme $r o 0$ , comme vous l'avez fait, ne se rapproche de zéro que sur des chemins qui sont des lignes droites. Cela ne suffit pas pour assurer la différentiabilité et cet exemple est de montrer pourquoi. Comme indiqué dans les commentaires, nous avons que $ frac $ n'est pas borné, lorsque vous approchez de zéro à travers le ligne $y=x$ . Bien que la fonction soit définie comme étant nulle sur cette ligne, vous pouvez toujours reproduire ce comportement d'explosion en choisissant un chemin qui s'approche suffisamment rapidement de la ligne $y=x$.

      Si vous considérez le chemin $x(t) = t$ et $y(t) = t - t^3$ , alors vous avez $ lim_ frac = lim_ frac = lim_frac<2t^3 - 3t^5 + 3t^7 - t^9 > = 2. $


      3.4 : Limites et continuité - Mathématiques

      Pour développer le calcul des fonctions d'une variable, nous devions donner un sens au concept de limite, dont nous avions besoin pour comprendre les fonctions continues et définir la dérivée. Les limites impliquant des fonctions de deux variables peuvent être considérablement plus difficiles à gérer heureusement, la plupart des fonctions que nous rencontrons sont assez faciles à comprendre.

      La difficulté potentielle est en grande partie due au fait qu'il existe de nombreuses façons "d'approcher" un point dans le plan $x$-$y$. Si nous voulons dire que $dslim_<(x,y) to(a,b)>f(x,y)=L$, nous devons capturer l'idée que lorsque $(x,y)$ se rapproche de $(a,b)$ alors $f(x,y) $ se rapproche de $L$. Pour les fonctions d'une variable, $f(x)$, il n'y a que deux façons pour $x$ d'approcher $a$ : à partir de la gauche ou de la droite. Mais il y a un nombre infini de façons pour approcher $(a,b)$ : le long de l'une quelconque d'un nombre infini de lignes, ou d'un nombre infini de paraboles, ou d'un nombre infini de courbes sinusoïdales, et ainsi de suite. exemple, que le long de chaque ligne possible passant par $(a,b)$ la valeur de $f(x,y)$ se rapproche de $L$ cela signifie sûrement que "$f(x,y)$ approche $L$ comme $(x,y)$ se rapproche de $(a,b)

      3.4 : Limites et continuité - Mathématiques

      DANS CETTE PARTIE &hellip

      Limites : Le microscope mathématique qui vous permet en quelque sorte de zoomer sur une courbe au niveau sous-, sous-, sous-atomique, où elle devient droite.

      Limites, asymptote, et infini : Loin, mec.

      Le charabia mathématique sur continuité . Plus le sens simple de l'anglais : ne pas soulever votre crayon du papier.

      Calcul des limites avec l'algèbre.

      Calcul des limites avec votre calculatrice.

      Chapitre 7. Limites et continuité

      DANS CE CHAPITRE

      Regard sur les limites

      Évaluer les fonctions avec des trous & mdash sortir les boules à mites

      Explorer la continuité et la discontinuité

      Les limites sont fondamentales pour le calcul différentiel et intégral. La définition formelle d'une dérivée implique une limite tout comme la définition d'une intégrale définie. (Si vous êtes un vrai fonceur et que vous avez hâte de lire les définitions réelles, consultez Chapitres 9 et 13.) Maintenant, il s'avère qu'après avoir appris les raccourcis pour calculer les dérivées et les intégrales, vous n'aurez plus besoin d'utiliser les méthodes de limite plus longues. Mais comprendre les mathématiques des limites est néanmoins important car il constitue la base sur laquelle est construite la vaste architecture du calcul (d'accord, alors je me suis un peu emporté). Dans ce chapitre, je pose les bases de la différenciation et de l'intégration en explorant les limites et le sujet étroitement lié, la continuité.

      Prenez-le à la limite &mdash PAS

      Les limites peuvent être délicates. Ne vous inquiétez pas si vous ne comprenez pas tout de suite le concept.

      Définition informelle de limite (la définition formelle est en quelques pages) : La limite d'une fonction (si elle existe) pour certains X-valeur c, est la hauteur à laquelle la fonction se rapproche de plus en plus X se rapproche de plus en plus c de gauche et de droite. (Noter: Cette définition ne s'applique pas aux limites où X approche l'infini ou l'infini négatif. Plus d'informations sur ces limites plus loin dans le chapitre et dans Chapitre 8.)

      J'ai compris? Vous plaisantez! Permettez-moi de le dire autrement. Une fonction a une limite pour une donnée X-valeur c si la fonction se met à zéro sur une certaine hauteur comme X se rapproche de plus en plus de la valeur donnée c de gauche et de droite. Cela a-t-il aidé? Je ne le pensais pas. Il est beaucoup plus facile de comprendre les limites à travers des exemples qu'à travers ce genre de charabia, alors jetez-y un coup d'œil.

      Utiliser trois fonctions pour illustrer la même limite

      Considérez la fonction à gauche dans Figure 7-1. Quand on dit que la limite de comme X approches 2 est 7, écrit comme , nous voulons dire que comme X se rapproche de plus en plus de 2 à gauche et à droite, se rapproche de plus en plus d'une hauteur de 7.Soit dit en passant, pour autant que je sache, le numéro 2 dans cet exemple n'a pas de nom formel, mais je l'appelle le nombre-flèche. Le nombre de flèches vous donne un emplacement horizontal dans le X direction. Ne le confondez pas avec le réponse au problème limite ou simplement le limite, qui font tous deux référence à un oui-valeur ou la taille de la fonction (7 dans cet exemple). Maintenant, regardez Tableau 7-1.

      ILLUSTRATION 7-1 : Les graphiques des fonctions de F , g , et h.

      TABLEAU 7-1 Valeurs d'entrée et de sortie de comme X Approches 2

      Tableau 7-1 montre que oui approche 7 alors que X s'approche de 2 à la fois de la gauche et de la droite, et donc la limite est de 7. Si vous vous demandez de quoi il s'agit, pourquoi ne pas simplement brancher le numéro 2 sur X dans et obtenez la réponse de 7 &mdash Je suis sûr que vous avez beaucoup de compagnie. En fait, si toutes les fonctions étaient continu (sans lacunes) comme F, toi pouvait branchez simplement le numéro de la flèche pour obtenir la réponse, et ce type de problème de limite serait fondamentalement inutile. Nous devons utiliser des limites dans le calcul à cause de discontinu des fonctions comme g et h qui ont des trous.

      Une fonction g au milieu de Figure 7-1 est identique à F à l'exception du trou à et le point à . En fait, cette fonction, , ne se poserait jamais dans un problème de calcul ordinaire &mdash Je ne l'utilise que pour illustrer le fonctionnement des limites. (Continuez à lire. J'ai encore un peu de terrain à préparer avant de voir pourquoi je l'inclus.)

      Les fonctions importantes pour le calcul sont les fonctions comme h à droite dans Figure 7-1, qui reviennent fréquemment dans l'étude des dérivés. Cette troisième fonction est identique à sauf que le point a été arraché, laissant un trou à et aucun autre point où X est égal à 2.

      Imaginez à quoi ressemblerait le tableau des valeurs d'entrée et de sortie et . Pouvez-vous voir que les valeurs seraient identiques aux valeurs dans Tableau 7-1 pour ? Pour les deux g et h, comme X se rapproche de plus en plus de 2 à gauche et à droite, oui se rapproche de plus en plus d'une hauteur de 7. Pour les trois fonctions, la limite comme X approches 2 est 7.

      Cela nous amène à un point critique : lors de la détermination de la limite d'une fonction comme X approche, disons, 2, la valeur de &mdash ou même si existe du tout &mdash est totalement hors de propos. Jetez un œil à nouveau aux trois fonctions où est égal à 7, est 5, et n'existe pas (ou, comme disent les mathématiciens, c'est indéfini). Mais, encore une fois, ces trois résultats ne sont pas pertinents et n'affectent pas la réponse au problème de la limite.

      Vous n'atteignez pas la limite. Dans un problème limite, X se rapproche de plus en plus de la flèche-chiffre c, mais techniquement n'y arrive jamais, et qu'arrive-t-il à la fonction lorsque X est égal au nombre de flèche c possède aucun effet sur la réponse au problème limite (bien que pour les fonctions continues comme la valeur de la fonction est égale à la réponse limite et elle peut donc être utilisée pour calculer la réponse limite).

      Sidling jusqu'à des limites unilatérales

      Les limites unilatérales fonctionnent comme des limites bilatérales normales, sauf que X approche le nombre de flèche c juste à gauche ou juste à droite. L'objectif le plus important de ces limites est qu'elles sont utilisées dans la définition formelle d'une limite régulière (voir la section suivante sur la définition formelle d'une limite).

      Pour indiquer une limite unilatérale, vous mettez un petit signe de soustraction en exposant sur le nombre de flèche lorsque X s'approche du nombre de flèche à partir de la gauche ou d'un signe d'addition en exposant lorsque X s'approche du nombre de flèches en partant de la droite. Comme ça:

      ou alors

      Regarder Figure 7-2. La réponse au problème de la limite régulière, , c'est que la limite n'existe pas parce que comme X approche 3 de la gauche et la droite, n'est pas à zéro sur la même hauteur.

      FIGURE 7-2 : Une illustration de deux limites unilatérales.

      Cependant, les deux limites unilatérales existent. Comme X approche 3 de la gauche, se met à zéro sur une hauteur de 6, et quand X approche 3 en partant de la droite, se met à zéro sur une hauteur de 2. Comme pour les limites normales, la valeur de n'a aucun effet sur la réponse à l'un ou l'autre de ces problèmes de limites unilatérales. Ainsi,

      et

      Une fonction comme dans Figure 7-2 s'appelle un par morceaux fonction parce qu'il a des pièces séparées. Chaque partie d'une fonction par morceaux a sa propre équation &mdash comme, par exemple, la fonction en trois parties suivante :

      Parfois, un morceau d'une fonction par morceaux se connecte à son morceau voisin, auquel cas la fonction y est continue. Et parfois, comme avec , une pièce ne se connecte pas avec la pièce adjacente &mdash cela entraîne une discontinuité.

      La définition formelle d'une limite &mdash exactement ce que vous attendiez

      Maintenant que vous connaissez les limites unilatérales, je peux vous donner la définition mathématique formelle d'une limite. Voici:

      Définition formelle de la limite : Laisser F être une fonction et laisser c être un nombre réel.

      existe si et seulement si

      1. existe,

      2. existe, et

      3.

      Les livres de calcul présentent toujours cela comme un test en trois parties pour l'existence d'une limite, mais la condition 3 est la seule dont vous devez vous soucier car 1 et 2 sont intégrés à 3. Vous devez juste vous rappeler que vous ne pouvez pas satisfaire condition 3 si les côtés gauche et droit de l'équation sont à la fois indéfinis ou inexistants en d'autres termes, il est ne pas vrai que indéfini = indéfini ou ça inexistant = inexistant. (Je pense que c'est pourquoi les textes calc utilisent la définition en 3 parties.) Tant que vous avez compris, la condition 3 est tout ce que vous devez vérifier.

      Quand nous disons qu'il existe une limite, cela signifie que la limite est égale à un fini numéro. Certaines limites sont égales à l'infini ou à l'infini négatif, mais vous dites néanmoins qu'elles n'existe pas. Cela peut sembler étrange, mais croyez-moi sur parole. (Plus d'informations sur les limites infinies dans la section suivante.)

      Limites et asymptotes verticales

      UNE rationnel fonctionner comme a des asymptotes verticales à et . Vous vous souvenez des asymptotes ? Ce sont des lignes imaginaires dont le graphique d'une fonction se rapproche de plus en plus à mesure qu'il monte, descend, gauche ou droite vers l'infini ou l'infini négatif. est montré dans Figure 7-3.

      ILLUSTRATION 7-3 : Une fonction rationnelle typique.

      Considérons la limite de la fonction dans Figure 7-3 comme X approches 3. Comme X s'approche de 3 par la gauche, /> monte à l'infini, et comme X se rapproche de 3 par la droite, /> descend jusqu'à l'infini négatif. Parfois, il est instructif de l'indiquer par écrit,

      et

      Mais il est également correct de dire que ces deux limites n'existe pas car l'infini n'est pas un nombre réel. Et si on vous demande de déterminer la limite régulière et bilatérale, , vous n'avez pas d'autre choix que de dire qu'il n'existe pas parce que les limites de la gauche et de la droite sont inégales.

      Limites et asymptotes horizontales

      Jusqu'à présent, j'ai regardé les limites où X se rapproche d'un nombre fini régulier. Mais X peut aussi approcher l'infini ou l'infini négatif. Des limites à l'infini existent lorsqu'une fonction a une asymptote horizontale. Par exemple, la fonction dans Figure 7-3 a une asymptote horizontale à , dont la fonction se rapproche de plus en plus à mesure qu'elle tend vers l'infini vers la droite et l'infini négatif vers la gauche. (En allant vers la gauche, la fonction croise l'asymptote horizontale à puis redescend progressivement vers l'asymptote. En allant vers la droite, la fonction reste en dessous de l'asymptote et monte progressivement vers elle.) Les limites sont égales à la hauteur de l'asymptote horizontale et sont écrites comme suit

      et

      Vous voyez plus de limites à l'infini dans Chapitre 8.

      Calcul de vitesse instantanée avec limites

      Si vous avez somnolé jusqu'à présent, RÉVEILLEZ-VOUS ! Le problème suivant, qui s'avère finalement être un problème limite, vous amène au seuil du calcul réel. Supposons que vous et votre chat qui aime les calculs traînez un jour et que vous décidez de laisser tomber une balle par la fenêtre de votre deuxième étage. Voici la formule qui vous indique à quelle distance la balle est tombée après un certain nombre de secondes (en ignorant la résistance de l'air) :

      &point médian

      &point médian (où h est la hauteur de chute de la balle, en pieds, et t est le temps écoulé depuis que la balle est tombée, en secondes)

      Si vous branchez 1 sur e est de 16, donc la balle tombe de 16 pieds pendant la première seconde. Pendant les 2 premières secondes, il tombe un total de , ou 64 pieds, et ainsi de suite. Maintenant, et si vous vouliez déterminer la vitesse de la balle exactement 1 seconde après l'avoir lâchée ? Vous pouvez commencer par sortir cette vieille formule fidèle :

      En utilisant le taux, ou alors la vitesse formule, vous pouvez facilement déterminer la vitesse moyenne de la balle pendant la 2e seconde de sa chute. Parce qu'il a chuté de 16 pieds après 1 seconde et un total de 64 pieds après 2 secondes, il est tombé , ou 48 pieds de deuxième à secondes. La formule suivante vous donne la vitesse moyenne :

      Mais ce n'est pas la réponse que vous voulez car la balle tombe de plus en plus vite à mesure qu'elle tombe, et vous voulez connaître sa vitesse exactement 1 seconde après l'avoir laissée tomber. La balle accélère entre 1 et 2 secondes, donc cette moyenne une vitesse de 48 pieds par seconde pendant la 2e seconde est certaine d'être plus rapide que celle de la balle instantané vitesse à la fin de la 1ère seconde. Pour une meilleure approximation, calculez la vitesse moyenne entre deuxième et secondes. Après 1,5 seconde, la balle est tombée ou 36 pieds, donc à partir de à , ça tombe , ou 20 pieds. Sa vitesse moyenne est donc

      Si vous continuez ce processus pendant des temps écoulés d'un quart de seconde, d'un dixième de seconde, puis d'un centième, d'un millième et d'un dix-millième de seconde, vous arrivez à la liste des vitesses moyennes indiquées en Tableau 7-2.

      TABLEAU 7-2 Vitesses moyennes de 1 seconde à t Secondes

      Comme t se rapproche de plus en plus de 1 seconde, les vitesses moyennes semblent se rapprocher de plus en plus de 32 pieds par seconde.

      Voici la formule que nous avons utilisée pour générer les nombres dans Tableau 7-2. Il vous donne la vitesse moyenne entre 1 seconde et t secondes :

      (Dans la ligne juste au-dessus, rappelez-vous que t ne peut pas être égal à 1 car cela entraînerait un zéro dans le dénominateur de l'équation d'origine. Cette restriction reste en vigueur même après l'annulation de la .)

      Figure 7-4 montre le graphique de cette fonction.

      ILLUSTRATION 7-4 : f(t) est la vitesse moyenne entre 1 seconde et t secondes.

      Ce graphique est identique au graphique de la ligne à l'exception du trou à . Il y a un trou parce que si vous branchez 1 dans t dans la fonction vitesse moyenne, vous obtenez

      qui est indéfini. Et pourquoi as-tu eu ? Parce que vous essayez de déterminer une vitesse moyenne &mdash qui est égale à distance totale divisé par temps écoulé &tirer en bas de à . Mais de à est, bien sûr, non temps, et "pendant" ce moment, la balle ne parcourt aucune distance, donc vous obtenez comme la vitesse moyenne de à .

      De toute évidence, il y a un problème ici. Accrochez-vous à votre chapeau, vous êtes arrivé à l'un des grands "Ah ha!" moments du développement du calcul différentiel.

      Définition de Vitesse instantanée: La vitesse instantanée est définie comme la limite de la vitesse moyenne lorsque le temps écoulé approche de zéro.

      Pour le problème de la chute de balle, vous auriez

      Le fait que le temps écoulé n'arrive jamais à zéro n'affecte pas la précision de la réponse à ce problème de limite &mdash la réponse est exactement 32 pieds par seconde, la hauteur du trou dans Figure 7-4. Ce qui est remarquable avec les limites, c'est qu'elles permettent de calculer la vitesse précise et instantanée à un Célibataire point dans le temps en prenant la limite d'une fonction basée sur un écoulé temps, une période entre deux points de temps.

      Lier les limites et la continuité

      Avant de développer le matériel sur les limites des sections précédentes de ce chapitre, je veux introduire une idée connexe &mdash continuité. C'est un concept si simple. UNE continu la fonction est simplement une fonction sans espace &mdash une fonction que vous pouvez dessiner sans retirer votre crayon du papier. Considérez les quatre fonctions dans Figure 7-5.

      FIGURE 7-5 : Les graphiques des fonctions F, g, p, et q.

      Qu'une fonction soit continue ou non est presque toujours évident. Les deux premières fonctions de Figure 7-5, et , n'ont pas d'espaces, ils sont donc continus. Les deux suivants, et , avoir des lacunes à , ils ne sont donc pas continus. C'est tout ce qu'on peut en dire. Eh bien, pas tout à fait. Les deux fonctions avec des espaces ne sont pas continues partout, mais comme vous pouvez en dessiner des sections sans retirer votre crayon du papier, vous pouvez dire que certaines parties de ces fonctions sont continues. Et parfois, une fonction est continue partout où elle est définie. Une telle fonction est décrite comme étant continue sur tout son domaine, ce qui signifie que son ou ses écarts se produisent à X-valeurs où la fonction n'est pas définie. La fonction est continue sur tout son domaine , en revanche, n'est pas continue sur tout son domaine car elle n'est pas continue à , qui est dans le domaine de la fonction. Souvent, la question importante est de savoir si une fonction est continue à un X-valeur. C'est à moins qu'il n'y ait un écart là-bas.

      Continuité des fonctions polynomiales : Toutes les fonctions polynomiales sont continues partout.

      Continuité des fonctions rationnelles : Toutes les fonctions rationnelles &mdash a fonction rationnelle est le quotient de deux fonctions polynomiales &mdash sont continues sur l'ensemble de leurs domaines. Ils sont discontinus à X-valeurs pas dans leurs domaines &mdash c'est-à-dire, X-valeurs dont le dénominateur est zéro.

      Continuité et limites vont généralement de pair

      Regardez les quatre fonctions dans Figure 7-5. Considérez si chaque fonction y est continue et s'il existe une limite à cette X-valeur. Les deux premiers, F et g, n'ont pas d'espaces à , ils sont donc continus là-bas. Les deux fonctions ont également des limites à , et dans les deux cas, la limite est égale à la hauteur de la fonction à , parce que X se rapproche de plus en plus de 3 à gauche et à droite, oui se rapproche de plus en plus et , respectivement.

      Les fonctions p et q, d'autre part, ne sont pas continus à (ou vous pouvez dire qu'ils sont discontinu là), et aucun n'a une limite régulière et bilatérale à . Pour les deux fonctions, les écarts à non seulement rompent la continuité, mais ils font aussi qu'il n'y a pas de limites parce que, à mesure que vous avancez vers de gauche à droite, vous ne vous concentrez pas sur un seul oui-valeur.

      Alors voilà. Si une fonction est continue à un X-value, il doit y avoir une limite régulière et bilatérale pour cela X-valeur. Et s'il y a une discontinuité à un X-valeur, il n'y a pas de limite bilatérale là-bas & hellip bien, presque. Continuez à lire pour l'exception.

      L'exception du trou raconte toute l'histoire

      L'exception du trou est la seule exception à la règle selon laquelle continuité et limites vont de pair, mais c'est un énorme exception. Et je dois admettre que c'est un peu bizarre pour moi de dire que la continuité et les limites d'habitude aller de pair et en parler exception parce que l'exception est le point entier. Au fond, l'exception est plus importante que la règle. Considérons les deux fonctions dans 7-6.

      ILLUSTRATION 7-6 : Les graphiques des fonctions r et s.

      Ces fonctions présentent des lacunes au niveau et n'y sont évidemment pas continus, mais ils faire avoir des limites comme X approche 2. Dans chaque cas, la limite est égale à la hauteur du trou.

      L'exception du trou : La seule façon pour une fonction d'avoir une limite régulière et bilatérale là où elle n'est pas continue est là où la discontinuité est un trou infinitésimal dans la fonction.

      Donc les deux fonctions dans Figure 7-6 avoir la même limite que X s'approche de 2, la limite est de 4, et les faits qui et cela est indéfini ne sont pas pertinents. Pour les deux fonctions, comme X se met à zéro sur 2 de chaque côté, la hauteur de la fonction se met à zéro sur la hauteur du trou & mdash c'est la limite. Cela mérite d'être répété, même une icône :

      La limite à un trou : La limite à un trou est la hauteur du trou.

      « C'est super », pensez-vous peut-être. « Mais pourquoi devrais-je m'en soucier ? » Eh bien, reste avec moi juste une minute. Dans l'exemple de la chute de balle dans le "Calcul de vitesse instantanée avec limites” plus haut dans ce chapitre, j'ai essayé de calculer la vitesse moyenne pendant un temps écoulé zéro. Cela m'a donné . Parce que n'est pas défini, le résultat était un trou dans la fonction. Les trous de fonction proviennent souvent de l'impossibilité de diviser zéro par zéro. Ce sont ces fonctions où le processus limite est critique, et ces fonctions sont au cœur de la signification d'une dérivée, et les dérivées sont au cœur du calcul différentiel.

      La connexion dérivée-trou : Une dérivée implique toujours la fraction indéfinie et implique toujours la limite d'une fonction avec un trou. (Si vous êtes curieux, toutes les limites de Chapitre 9 &mdash où la dérivée est formellement définie &mdash sont les limites des fonctions avec des trous.)

      Trier le charabia mathématique de la continuité

      Tout ce que vous devez savoir pour pleinement comprendre l'idée de continuité est qu'une fonction est continue à un certain X-valeur s'il n'y a pas d'espace là-bas. Cependant, parce que vous pouvez être testé sur la définition formelle suivante, je suppose que vous voudrez le savoir.

      Définition de la continuité : Une fonction est continu à un moment si les trois conditions suivantes sont remplies :

      1. est défini,

      2. existe, et

      3. .

      Tout comme avec la définition formelle d'une limite, la définition de la continuité est toujours présentée comme un test en 3 parties, mais la condition 3 est la seule dont vous devez vraiment vous soucier car les conditions 1 et 2 sont intégrées à 3. Vous devez vous rappeler , cependant, cette condition 3 est ne pas satisfait lorsque les côtés gauche et droit de l'équation sont à la fois indéfinis ou inexistants.

      Le mnémonique limite 33333

      Voici un excellent dispositif de mémoire qui rassemble beaucoup d'informations en un seul coup. Cela peut sembler artificiel ou idiot, mais avec des dispositifs mnémoniques, un travail artificiel et idiot. Le mnémonique de limite 33333 vous aide à vous souvenir de cinq groupes de trois choses : deux groupes impliquant des limites, deux impliquant la continuité et un sur les dérivées. (Je me rends compte que nous n'en sommes pas encore aux dérivés, mais c'est le meilleur endroit pour présenter ce mnémonique. Croyez-moi sur parole et rien n'est parfait.)

      Tout d'abord, notez que le mot limite a cinq lettres et qu'il y a cinq 3 dans ce mnémonique. Ensuite, écrivez limite avec un « l » minuscule et décroisez le « t » pour qu'il devienne un autre « l » &mdash comme ceci :

      Maintenant, les deux "l" sont pour les limites, les deux "i" sont pour la continuité (notez que la lettre "i" a un espace, donc ce n'est pas continu), et le "m" est pour la pente ( rappelles toi ?), c'est à cela que servent les dérivés (vous le verrez dans Chapitre 9 en quelques pages).

      Chacune des cinq lettres vous aide à vous souvenir de trois choses &mdash comme ceci :

      · 3 parties à la définition d'une limite :

      Revenez à la définition d'une limite dans "La définition formelle d'une limite &mdash exactement ce que vous attendiez" section. Se rappeler qu'il a trois parties vous aide à vous souvenir des parties & mdash faites-moi confiance.

      · 3 cas où une limite n'existe pas :

      · À une asymptote verticale &mdash appelé discontinuité infinie &mdash comme à en fonction p dans Figure 7-5.

      · À une discontinuité de saut, comme où en fonction q dans Figure 7-5.

      · Avec une limite à l'infini d'un fonction oscillante aimer qui monte et descend pour toujours, sans jamais se concentrer sur une seule hauteur.

      · 3 parties à la définition de la continuité :

      Tout comme pour la définition d'une limite, se rappeler que la définition de la continuité a 3 parties vous aide à vous souvenir des 3 parties (voir la section "Trier le charabia mathématique de la continuité”).

      · Une discontinuité amovible &mdash qui est un terme sophistiqué pour un trou &mdash comme les trous dans les fonctions r et s dans Figure 7-6.

      · Une discontinuité infinie comme à en fonction p dans Figure 7-5.

      · Une discontinuité de saut comme à en fonction q dans Figure 7-5.

      Notez que les trois types de discontinuité (trou, infini et saut) commencent par trois lettres consécutives de l'alphabet. Comme ils sont consécutifs, il n'y a pas d'écart entre h, je, et j, ce sont donc des lettres continues. Hé, ce livre valait-il son prix ou quoi ?

      · 3 cas où une dérivée n'existe pas :

      (j'explique cela dans Chapitre 9 &mdash gardez votre chemise.)

      · À tout type de discontinuité.

      · À un point précis sur une fonction, à savoir, à un cuspide ou un coin.

      &point médian À un tangente verticale (car la pente n'y est pas définie).

      Bien, tu l'as maintenant. Avez-vous remarqué qu'une autre façon dont ce mnémonique fonctionne est qu'il vous donne 3 cas où une limite n'existe pas, 3 cas où la continuité n'existe pas et 3 cas où une dérivée n'existe pas ? Sacré triple trio de non-existence, Batman, voilà encore 3 &mdash les 3 thèmes du mnémonique : limites, continuité et dérivés !

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      Continuité

      Si vous avez compris la notion de limite, alors il est facile de comprendre la continuité. Une fonction f(x) est continue en un point a, si les trois conditions suivantes sont remplies :

      1. f(a) devrait exister
      2. f(x) a une limite lorsque x s'approche de a
      3. La limite de f(x) car x->a est égale à f(a)

      Si tout ce qui précède est vrai, alors la fonction est continue au point a. Quelques exemples suivent :

      Exemples de continuité

      Le concept de continuité est étroitement lié aux limites. Si la fonction est définie en un point, n'a pas de sauts en ce point et a une limite en ce point, alors elle est continue en ce point. La figure ci-dessous montre quelques exemples, qui sont expliqués ci-dessous :

      />

      3.1 La fonction carrée

      La fonction suivante f_4(x) est continue pour toutes les valeurs de x :

      3.2 La fonction rationnelle

      Notre fonction g(x) précédemment utilisée :

      g(x) est continue partout sauf en x=-1.

      Nous avons maintenant une fonction continue pour toutes les valeurs de x.

      3.3 La fonction réciproque

      Pour revenir à notre exemple précédent de f_3(x) :

      f_3(x) est continue partout, sauf à x=0 car la valeur de f_3(x) a un grand saut à x=0. Il y a donc une discontinuité à x=0.


      Voir la vidéo: Limite et continuité partie 1 (Décembre 2021).