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6.R : Fonctions Périodiques (Révision) - Mathématiques


6.1 : Graphiques des fonctions sinus et cosinus

Pour les exercices 1 à 8, tracez le graphique des fonctions pour deux périodes et déterminez l'amplitude ou le facteur d'étirement, la période, l'équation médiane et les asymptotes.

1) (f(x)=-3cos x+3)

Répondre

amplitude : (3); période : (2pi ); ligne médiane : (y=3);pas d'asymptote

2) (f(x)=dfrac{1}{4}sin x)

3) (f(x)=3cosleft ( x+dfrac{pi }{6} ight ))

Répondre

amplitude : (3); période : (2pi ); ligne médiane : (y=0); pas d'asymptote

4) (f(x)=-2sinleft ( x-dfrac{2pi }{3} ight ))

5) (f(x)=3sinleft ( x-dfrac{pi }{4} ight )-4)

Répondre

amplitude : (3); période : (2pi ); ligne médiane : (y=-4); pas d'asymptote

6) (f(x)=2gauche (cosgauche ( x-dfrac{4pi }{3} ight )+1 ight ))

7) (f(x)=6sinleft ( 3x-dfrac{pi }{6} ight )-1)

Répondre

amplitude : (6); période : (dfrac{2pi }{3}); ligne médiane : (y=-1); pas d'asymptote

8) (f(x)=-100sin(50x-20))

6.2 : Graphes des autres fonctions trigonométriques

Pour les exercices 1 à 4, tracez le graphique des fonctions pour deux périodes et déterminez l'amplitude ou le facteur d'étirement, la période, l'équation médiane et les asymptotes.

1) (f(x)= an x-4)

Répondre

facteur d'étirement : aucun ; période : (pi );ligne médiane : (y=-4);asymptotes : (x=dfrac{pi }{2}+pi k), où (k) est un entier

2) (f(x)=2 an left ( x-dfrac{pi }{6} ight ))

3) (f(x)=-3 an (4x)-2)

Répondre

facteur d'étirement : (3); période : (dfrac{pi }{4}); ligne médiane : (y=-2); asymptotes : (x=dfrac{pi }{8}+dfrac{pi }{4}k), où (k) est un entier

4) (f(x)=0.2cos(0.1x)+0.3)

Pour les exercices 5 à 10, tracez le graphique de deux périodes complètes. Identifiez la période, le déphasage, l'amplitude et les asymptotes.

5) (f(x)=dfrac{1}{3}sec x)

Répondre

amplitude : aucune ; période : (2pi ); pas de déphasage ; asymptotes : (x=dfrac{pi }{2}k), où (k) est un entier

6) (f(x)=3cot x)

7) (f(x)=4csc (5x))

Répondre

amplitude : aucune ; période : (dfrac{2pi }{5}); pas de déphasage ; asymptotes : (x=dfrac{pi }{5}k), où (k) est un entier

8) (f(x)=8sec gauche (dfrac{1}{4}x ight ))

9) (f(x)=dfrac{2}{3}csc gauche (dfrac{1}{2}x ight ))

Répondre

amplitude : aucune ; période : (4pi ); pas de déphasage ; asymptotes : (x=2pi k), où (k) est un entier

10) (f(x)=-csc (2x+pi))

Pour les exercices 11-15, utilisez ce scénario : La population d'une ville a augmenté et diminué sur un intervalle de (20) ans. Sa population peut être modélisée par la fonction suivante : (y=12,000+8,000sin(0.628x)), où le domaine est les années depuis 1980 et la plage est la population de la ville.

11) Quelle est la population la plus grande et la plus petite de la ville ?

Répondre

le plus grand : (20,000); le plus petit : (4 000)

12) Représentez graphiquement la fonction sur le domaine de ([0,40]).

13) Quels sont l'amplitude, la période et le déphasage de la fonction ?

Répondre

amplitude : (8000); période : (10); déphasage : (0)

14) Sur ce domaine, quand la population atteint (18 000) ? (13 000) ?

15) Quelle est la population prévue en 2007 ? 2010 ?

Répondre

En 2007, la population prévue est de (4.413). En 2010, la population sera (11 924).

Pour les exercices 16a-16d, supposons qu'un poids est attaché à un ressort et se balance de haut en bas, présentant une symétrie.

16) Supposons que le graphique de la fonction de déplacement soit illustré dans la figure ci-dessous, où les valeurs sur l'axe (x) représentent le temps en secondes et l'axe (y) représente le déplacement en pouces.

  1. Donner l'équation qui modélise le déplacement vertical du poids sur le ressort.
  2. A ( ext{time} = 0), quel est le déplacement du poids ?
Répondre

(5) dans.

  1. A quel moment le déplacement depuis le point d'équilibre est-il égal à zéro ?
  2. Quel est le temps nécessaire pour que le poids revienne à sa hauteur initiale de (5) pouces ? En d'autres termes, quelle est la période de la fonction de déplacement ?
Répondre

(10 secondes

6.3 : Fonctions trigonométriques inverses

Pour les exercices 1-11, trouvez la valeur exacte sans l'aide d'une calculatrice.

1) (sin ^{-1}(1))

2) (cos ^{-1}left ( dfrac{sqrt{3}}{2} ight ))

Répondre

(dfrac{pi }{6})

3) ( an ^{-1}(-1))

4) (cos ^{-1}left ( dfrac{1}{sqrt{2}} ight ))

Répondre

(dfrac{pi }{4})

5) (sin ^{-1}left ( dfrac{-sqrt{3}}{2} ight ))

6) (sin ^{-1}left (cos left (dfrac{pi }{6} ight ) ight ))

Répondre

(dfrac{pi }{3})

7) (cos ^{-1}left ( an left (dfrac{3pi }{4} ight ) ight ))

8) (sin left (sec^{-1} left (dfrac{3}{5} ight ) ight ))

Répondre

Pas de solution

9) (cot left (sin^{-1} left (dfrac{3}{5} ight ) ight ))

10) ( an left (cos^{-1} left (dfrac{5}{13} ight ) ight ))

Répondre

(dfrac{12}{5})

11) (sin left (cos^{-1} left (dfrac{x}{x+1} ight ) ight ))

12) Tracez (f(x)=cos x) et (f(x)=sec x) sur l'intervalle ([0,2pi )) et expliquez toutes les observations.

Répondre

Les graphes ne sont pas symétriques par rapport à la droite (y=x).Ils sont symétriques par rapport à l'axe (y).

13) Tracez (f(x)=sin x) et (f(x)=csc x) et expliquez toutes les observations.

14) Tracez la fonction (f(x)=dfrac{x}{1}-dfrac{x^3}{3!}+dfrac{x^5}{5!}-dfrac{x^ 7}{7!}) sur l'intervalle ([-1,1]) et comparer le graphique au graphique de (f(x)=sin x) sur le même intervalle. Décrivez toute observation.

Répondre

Les graphiques semblent identiques.

Test de pratique

Pour les exercices 1 à 13, tracez le graphique de chaque fonction pour deux périodes complètes. Déterminez l'amplitude, la période et l'équation de la ligne médiane.

1) (f(x)=0,5sin x)

Répondre

amplitude : (0,5); période : (2pi );ligne médiane (y=0)


Série Fourier - Introduction

Les séries de Fourier sont utilisées dans l'analyse de périodique les fonctions.

De nombreux phénomènes étudiés en ingénierie et en science sont de nature périodique, par exemple. le courant et la tension dans un circuit à courant alternatif. Ces fonctions périodiques peuvent être analysées dans leurs composants constitutifs (fondamentaux et harmoniques) par un processus appelé Analyse de Fourier.

Nous visons à trouver un approximation en utilisant des fonctions trigonométriques pour diverses formes d'onde carrées, en dents de scie, etc. qui se produisent dans l'électronique. Pour ce faire, nous additionnons de plus en plus de fonctions trigonométriques. La somme de ces fonctions trigonométriques spéciales est appelée la Série Fourier.


Série de Fourier de fonctions à période arbitraire

On suppose que la fonction (fleft( x ight)) est continue par morceaux sur l'intervalle (left[ < – L,L> ight].) En utilisant la substitution (x = ) (> ormalsize>) (left( < – pi le x le pi > ight)), nous pouvons le transformer en fonction

qui est défini et intégrable sur (left[ < – pi ,pi > ight].) Le développement en série de Fourier de cette fonction (Fleft( y ight)) peut s'écrire sous la forme

Les coefficients de Fourier pour la fonction sont donnés par

En revenant aux variables initiales, c'est-à-dire en définissant (y = > ormalsize>,) on obtient la série trigonométrique suivante pour (fleft( x ight):)

Expansion de la série de Fourier sur l'intervalle (left[ ight])

Si la fonction (fleft( x ight)) est définie sur l'intervalle (left[ < a,b> ight],) alors sa représentation en série de Fourier est donnée par la même formule

où (L = grandfrac<><2> ormalsize) et les coefficients de Fourier sont calculés comme suit :

Fonctions paires et impaires

Le développement en série de Fourier d'une fonction paire, définie sur l'intervalle (left[ < – L,L> ight]) a la forme :

Le développement en série de Fourier d'une fonction impaire définie sur l'intervalle (left[ < – L,L> ight]) est exprimé par la formule

où les coefficients de Fourier sont


Fin de classe (EOG)

Les tests de fin d'études de Caroline du Nord sont conçus pour mesurer les performances des élèves par rapport aux buts, objectifs et compétences de niveau scolaire spécifiés dans le programme d'études standard de Caroline du Nord.

Ressources

  • EOG Grades 3-8 Reading sera disponible dès l'adoption par le North Carolina State Board of Education des normes de réussite scolaire et des scores de coupe pour la lecture (prévu en août 2021).

Les articles publiés peuvent être utilisés par les systèmes scolaires pour aider les élèves à se familiariser avec les articles. Ces matériaux ne doivent pas être utilisés à des fins personnelles ou financières. Les éléments publiés et les évaluations sont protégés par le droit d'auteur du Département de l'instruction publique de Caroline du Nord et ne peuvent pas être téléchargés dans des applications tierces. Les éléments publiés sont accessibles via le navigateur sécurisé, les applications NCTest pour Chromebook et iPad et via https://data.ncsu.edu/nctest/Destination.html en cliquant sur l'icône des éléments publiés.

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Résumé

Les fonctions sinus et cosinus

avoir de l'amplitude

, période , déphasage et décalage vertical .

Un cycle complet du graphique se produit sur l'intervalle .

Exemple

Trouver l'amplitude, la période, le déphasage et le décalage vertical de la fonction

.

Représentez graphiquement un cycle complet.

Solution

En comparant notre problème à la forme générale , nous voyons que

a = 1, b = 3, k = 2 et . Cela nous indique que l'amplitude est 3, la période est , le déphasage est , et le décalage vertical est 1. Un cycle complet du graphique se produit sur l'intervalle Un cycle complet du graphique est illustré à la figure 1.

Figure 1

le exemples interactifs ci-dessous vous permettent de voir plus de graphiques pour différentes valeurs des constantes a, b, c et k..


6.R : Fonctions Périodiques (Révision) - Mathématiques

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En ligne ISSN 1552-4485 Imprimer ISSN 0033-569X

Sur l'application des fonctions elliptiques dans les oscillations forcées non linéaires


Auteur : C. S. Hsu
Journal : Quart. Appl. Math. 17 (1960), 393-407
MSC : Primaire 70,00 Secondaire 33,00
DOI : https://doi.org/10.1090/qam/110250
Revue MathSciNet : 110250
Accès gratuit au PDF en texte intégral

    A. Erdelyi, éd., Fonctions transcendantales supérieures, vol. II, McGraw-Hill Book Co., New York, 1953
  • Eugène Jahnke et Fritz Emde, Tables de fonctions avec formules et courbes, Dover Publications, New York, 1943. MR 0008332
  • Heinz Helfenstein, Ueber eine spezielle Lamésche Differentialgleichung, mit Anwendung auf eine approximative Resonanzformel der Duffingschen Schwingungsgleichung, Thèse, Eidgenössische Technische Hochschule à Zürich, 1950 (allemand). M 0043298
  • C. S. Hsu, Sur les sous-harmoniques simples, Quart. Appl. Math.17 (1959), 102-105. M 101938, DOI https://doi.org/10.1090/S0033-569X-1959-0101938-7
  • L. M. Milne-Thomson, Tables de fonctions elliptiques jacobiennes, Dover Publications, Inc., New York, N. Y., 1950. MR 0088071
  • R. M. Rosenberg, Sur les solutions périodiques de l'équation de l'oscillateur forcé, Quart. Appl. Math.15 (1958), 341-354. M 92051, DOI https://doi.org/10.1090/S0033-569X-1958-92051-1 R. M. Rosenberg, Une note sur la réponse des systèmes avec et sans éléments non linéaires, Proc. Congrès international des mathématiciens, vol. I, Société mathématique américaine, Providence, R. I., 1952, p. 649 J. J. Stoker, Vibrations non linéaires, Interscience Publications, Inc., New York, 1950 E.T. Whittaker et G.N. Watson, Analyse moderne, Cambridge University Press, New York, 1947
    A. Erdelyi, éd., Fonctions transcendantales supérieures, vol. II, McGraw-Hill Book Co., New York, 1953 E. Jahnke et F. Emde, Tables de fonctions avec formules et courbes, Dover Publications, New York, 1943 H. Helfenstein, Ueber eine spezielle Lamesche Differentialgleichung, mit Anwendung auf eine approximative Resonanzformel der Duffingschen Schwingungsgleichung, Eidgenoessische Technische Hochschule à Zurich, Promotionsarbeit # 1985, Zurich, 1950 C. S. Hsu, Sur les sous-harmoniques simples, à paraître dans Quart. Appl. Math. L. M. Milne-Thomson, Tables de fonctions elliptiques jacobiennes, Dover Publications, Inc., New York, 1950 R. M. Rosenberg, Sur les solutions périodiques de l'équation de l'oscillateur forcé, Quart. Appl. Math. 15, 341 (1958) R.M. Rosenberg, Une note sur la réponse des systèmes avec et sans éléments non linéaires, Proc. Congrès international des mathématiciens, vol. I, Société mathématique américaine, Providence, R. I., 1952, p. 649 J. J. Stoker, Vibrations non linéaires, Interscience Publications, Inc., New York, 1950 E.T. Whittaker et G.N. Watson, Analyse moderne, Cambridge University Press, New York, 1947

Récupérer des articles dans Trimestriel de Mathématiques Appliquées avec MSC : 70,00, 33,00


Tracer une onde sinusoïdale de base

Si nous traçons maintenant le sinus de l'angle mesuré en radians le long du système de coordonnées cartésiennes, nous voyons que nous obtenons à nouveau la montée et la descente caractéristiques. Cependant, étant donné que la mesure de l'angle est tracée le long de l'axe des x (au lieu du cosinus de l'angle), le graphique qui en résulte est une courbe continue sur le plan de coordonnées qui ressemble à une onde physique, comme illustré ci-dessous.

Figure 4 : graphe sinusoïdal.

Si vous regardez attentivement ce graphique, vous verrez que l'onde traverse l'axe des x à des multiples de 3,1416 - la valeur de pi. Une vague complète est complétée à la valeur 6,2832, ou 2 & 960, exactement la circonférence du cercle unité.

Comprendre l'origine de la fonction sinus permet de mieux comprendre son fonctionnement par rapport aux ondes. Comme nous l'avons vu précédemment, la formule de base représentant la fonction sinus est :

Dans cette formule, y est la valeur en ordonnée obtenue lorsqu'on exécute la fonction Sin(x) pour les points en abscisse. Il en résulte le graphique de l'onde sinusoïdale de base. Mais comment représenter d'autres formes d'ondes, en particulier celles qui sont plus grandes ou plus longues ? Pour représenter graphiquement des vagues de différentes tailles, nous devons ajouter d'autres termes à notre formule. Le premier que nous examinerons est l'amplitude.

Dans cette modification de formule, UNE nous donne la valeur de l'amplitude de la vague - la distance qu'elle se déplace au-dessus et au-dessous de l'axe des x, ou la hauteur de la vague. En substance, ce que le modificateur UNE fait est d'augmenter (ou d'amplifier) ​​le résultat de la fonction Sin(x), conduisant ainsi à des valeurs y résultantes plus grandes.

Pour modifier la longueur d'onde d'une onde, ou la distance d'un point sur une onde à un point égal sur l'onde suivante, le modificateur k est utilisé, comme le montre la formule ci-dessous.

Le multiplicateur k prolonge la longueur de la vague. Rappelez-vous de notre discussion précédente que la longueur d'onde de notre onde la plus simple est 2 & 960, donc la longueur d'onde dans la formule finale est déterminée simplement en divisant 2 & 960 par le multiplicateur k, donc longueur d'onde (λ) = 2π/k.

Le multiplicateur k est utilisé pour modifier le _____ d'une vague.


La classe de Mme Smith

La clé de réponse pour les questions du manuel peut être consultée ici: Textbook Answers

Informations sur l'examen final – Regardez sous l'onglet EXAMEN FINAL MCR3U de Gr. 11 Menu principal de l'Université

Jeudi. 15 janvier
Finance & Test unitaire du théorème binomial

Questions de révision :
– p. 572 #1 – 17, 22 – 26 Manuel (p. 572)
– Passez en revue l'expansion des binômes à l'aide de la feuille de travail Triangle de Pascal

Contour:
– Intérêt simple
– Intérêt composé
– Valeur actuelle
– Montant d'une rente ordinaire
– Valeur actuelle d'une rente
– Prêts hypothécaires (il faut savoir comment convertir les taux d'intérêt semestriels)
– Développement de binômes à l'aide du triangle de Pascal

On vous donnera les formules :
– Montant d'une rente ordinaire
– Valeur actuelle d'une rente ordinaire

Vous devez mémoriser les formules :
– Intérêt simple
– Intérêt composé
– Comment passer d'un taux d'intérêt à un autre (généralement utilisé pour les hypothèques)

Jeudi. 18 décembre
Test unitaire des séquences et des séries

Questions de révision de test
p. 486 #2-12, 14, 15 Manuel (Pg. 480)

Plus d'entraînement:
p. 480 #2-4, 7-11, 15-19, 21, 23, 24, 27-29, 33-36, 38 Manuel (page 486)

  • Séquences
  • Différence entre les suites arithmétiques et géométriques
  • Séquences arithmétiques
  • Séquences géométriques
  • Formules de récursivité
  • Série arithmétique
  • Série géométrique
  • Assurez-vous de savoir les 4 formules : suite arithmétique, suite géométrique, série arithmétique (2e formule) et série géométrique

You are. 9 décembre
Test unitaire des fonctions trigonométriques

IMPORTANT! VEUILLEZ LIRE CE QUI SUIT : Identités de déclenchement

Questions de révision :
p. 388 #11 Manuel (Pg. 388)
p. 413 #11, 13, 14, 15a,b, 17, 19 – 27, 30 – 34 Manuel (Pg. 413)
p. 418 #3, 5, 9, 11 Manuel (p. 418)

Aperçu du test :
Angles co-terminaux
Angles aigus associés
Trouver toutes les mesures possibles d'un angle (à l'aide des angles RAA, CAST et co-terminaux 0
Rapports de déclenchement de n'importe quel angle
Triangles spéciaux (trouver des valeurs exactes)
Modélisation du comportement périodique
Esquisse des fonctions trigonométriques
Transformations de fonctions périodiques
Déclencher les applications

  • Cela inclura un graphique et doit proposer votre propre problème de mots qui correspond au graphique donné. Vous devrez également trouver l'équation à partir du graphique.
  • Il y aura un problème de mots où vous serez confronté à une situation et devrez trouver l'équation et la représenter graphiquement

Identités de déclenchement IMPORTANT ! VEUILLEZ LIRE CE QUI SUIT : Identités de déclenchement

You are. 2 décembre
Devoir à livre ouvert en classe sur les transformations trigonométriques

Ven. 21 novembre
Test unitaire des rapports de trigonométrie
Questions de révision : p. 316 #1-11 Manuel (Pgs 316 – 317)
Questions pratiques supplémentaires : p. 313 #1-4, #6-9, #11, #13, #14, #18, #19 Manuel (pages 313-315)

Lundi 10 novembre
Test des fonctions et transformations
Questions de révision :
p. 254 #1 – 13 Révision (pages 254-256)
p. 248 #15, 20 – 22, 24 – 26, 30, 32, 35, 36, 38, 39, 44 Révision (pages 246-253)
p. 218 #20, 21, 24 Manuel 3.5 (Regardez l'exemple 5 à la page 214 du manuel pour vous aider !)

jeudi 23 octobre
Test unitaire quadratique
Questions de révision :
p. 154 #1-4, 11-15, 17, 19-21, 23-27 Manuel (Pages 154-157)
p. 158 #1, 3-8, 11, 12 Manuel (Pages 158-159)
p. 693 #23 b, g Manuel (Pages 689-693)

vendredi 3 octobre
Test unitaire des fonctions exponentielles
Questions de révision :
p. 85 #1 – 12 Questions de révision des manuels (pages 85-89)
p. 90 #1 – 6, 12 chapitre Test Review (Pg. 90-91)
Assurez-vous également de revoir les questions d'application de croissance exponentielle et de décroissance.

mercredi 17 septembre
Test unitaire des expressions rationnelles
Questions de révision :
p. 86 #13 – 27 Questions de révision des manuels (pages 85-89)
p. 90 #7 – 10, 13a Chapitre Test Review (Pg. 90-91)


6.R : Fonctions Périodiques (Révision) - Mathématiques

[ Opérations dangereuses et illégales en calcul ] . introduction aux fonctions/distributions généralisées de Schwartz.

  • 01 Aperçu des espaces naturels fonctionnels, intégrales de Gelfand-Pettis, espaces de Levi-Sobolev
  • 02 Avis sur
      [ mise à jour 29 octobre '16]
  • résultats de base sur les séries de Fourier [ mise à jour 27 octobre '16]
  • Espaces Banach [ mise à jour 13 novembre '17]
  • applications des idées d'espace de Banach [ mise à jour 12 novembre 2016]
    • Introduction aux espaces de Levi-Sobolev [ mise à jour 12 novembre '16],
    • Des généralités suffisantes sur les espaces vectoriels topologiques [ mise à jour 28 novembre 2016]
    • Exemples d'espaces fonctionnels [ mise à jour 11 février '17]
    • Intégrales à valeurs vectorielles de Gelfand-Pettis [ mise à jour 28 novembre 2016]
    • Fonctions à valeurs vectorielles holomorphes [ mise à jour 28 novembre 2016]
    • Résultats de base sur les transformées de Fourier [ébauche] [ mise à jour 28 novembre 2016]
    • [ Alternative à Fredholm ] [ mise à jour 05 mars '17]
      [ mise à jour 14 février '17] [ mise à jour 28 février '17]
    • Un théorème spectral pour les opérateurs auto-adjoints bornés . [ mise à jour 14 janvier '18]
    • Révision/clarification des projecteurs/plans de projection . [ mise à jour 18 avril '17]
    • [ Suite méromorphe de certaines familles de distributions ][ mise à jour 07 sept. '13]
    • [ Théorèmes de Paley-Wiener ][ mise à jour 07 sept. '13]

    Analyse fonctionnelle 2012-13, MWF 1:25, Vincent 02

    • .
    • 11 Opérateurs non bornés sur les espaces de Hilbert
    • 10 Transformées de Fourier, distributions tempérées
    • 09 Les distributions de Schwartz
      • 09a fonctionne sur la ligne, l'avion, etc.
      • [ 09b distributions supportées à zéro ][ mise à jour 02 juil. '13]
      • [ 09c distributions sur sous-espaces ][ mise à jour 02 juil. '13]
      • [ Distributions de lissage 09d ][ mise à jour 02 juil. '13]
      • [ 08a Banach-Alaoglu, variante Banach-Steinhaus, secondes polaires, principes faible à fort ][ mise à jour 02 juil. '13]
      • [ 08b fonctions à valeurs vectorielles holomorphes ][ mise à jour 02 juil. '13]
      • [ 07a espaces vectoriels topologiques généraux, espaces de dimension finie] [ mise à jour 20 avril '14]
      • [ 07b seminormes versus localement convexité ] [ mise à jour 23 avril '14]
      • [ 07c Théorèmes de Hahn-Banach ] [ mise à jour 17 mai '19]
      • [ 07d complétude et quasi-complétude ] [ mise à jour 24 avril '14]
      • [ 07e Gelfand-Pettis/intégrales faibles] [ mise à jour 21 avril '14]
      • [ 06 spectre, opérateurs compacts, opérateurs de Hilbert-Schmidt ] [ mise à jour 31 mars '14]
      • [ 06b exemples de spectres, opérateurs. Lemme de compacité de Rellich sur les produits de cercles ] [ mise à jour 01 novembre '20]
      • [ Application 06c : analyse harmonique sur des groupes abéliens compacts ] [ mise à jour 23 mars '13]
      • [ 06d Opérateurs de Hilbert-Schmidt, produits tensoriels, noyaux de Schwartz : espaces nucléaires I ] [ mise à jour 25 mars '14]
      • [ Espaces Banach ] [ mise à jour 16 mars '14] Lemme de Riesz, corollaires de Baire : Banach-Steinhaus/uniform-boundedness, open mapping, Closed graph également, Hahn-Banach
      • [ application des idées spatiales de Banach à la série de Fourier ] [ mise à jour 25 Sep '12] résultats négatifs de base : non-convergence des séries de Fourier de fonctions continues, non-surjectivité de la carte des coefficients de Fourier à l'espace des séquences allant vers 0 à l'infini
      • [ exercices 02 ] [ mise à jour 09 octobre '12]
      • [ Fonctions sur cercles, série de Fourier I ] [ mise à jour 03 Avr '13] Série de Fourier en une variable, espaces de Levi-Sobolev sur cercles
      • [ aperçu des intégrales vectorielles ] en particulier, en différenciant un paramètre à l'intérieur d'une intégrale ! [ mise à jour 18 octobre '12]
      • [ Espaces de Hilbert ] [ mise à jour 15 mars '14] Espaces abstraits de Hilbert, exemples
      • [ introduction aux espaces de Levi-Sobolev ] [ mise à jour 11 janvier 2013] prouvant l'inégalité de Levi-Sobolev et imbriquant dans l'exemple le plus simple
      • exercices 01 [ exercices de révision ] [ mise à jour 08 sept. '12]

      Notes plus anciennes

      • [ Intersections d'ouverts, unions de fermés, sur des familles compactes ] [ mise à jour 18 août '12] . En général, seules les intersections finies d'ouvertures sont ouvertes, et seules les unions finies d'ouvertures sont fermées. Cependant, dans des situations plus structurées, les mêmes conclusions sont valables pour les familles compactes plutôt que finies.
      • [ Lemme de Riesz ] [ mise à jour 13 novembre '17] . que pour le sous-espace X non dense dans l'espace de Banach Y, et pour 0<r<1 il y a y dans Y avec |y|=1 et inf |xy|< r, où l'inf est sur x dans X. Utile comme une sorte de Banach- substitut d'espace pour l'orthogonalité dans les espaces de Hilbert, pas difficile à prouver, mais rarement étiqueté par ce nom dans les textes, donc étrangement difficile à trouver.
      • [ Enchâssement le plus simple de Levi-Sobolev et lemme de Rellich-Kondrachev ] [ mise à jour 20 mars '12] . cas le plus simple de plongement de Levi-Sobolev : +1-index L 2 L'espace de Levi-Sobolev sur [0,1] est à l'intérieur continu fonctions, et Rellich-Kondrachev : l'inclusion de l'espace de Levi-Sobolev à indice 1 dans L 2 [0,1] est compact .
      • [ Inégalité de Young (cas numérique) ] [ mise à jour 03 mars '12] . ab est inférieur à a p /p + b q /q pour les exposants conjugués 1/p+1/q=1. C'est assez facile, juste la convexité du log, mais p=q=2 est encore plus facile, rendant parfois le cas général mystérieusement difficile par comparaison. Les articles de Young en 1912 cités (emplacements récupérés sur Wiki).
      • [ Exemple simple extensions de restrictions de Friedrichs des Laplaciens ] [ mise à jour 01 mars '12] . donnant la décomposition spectrale du Laplacien sur [a,b] à partir de celle de la raie entière. Obtention de la condition aux limites du problème de Dirichlet aux extrémités.
      • [ Critère d'autonomie essentielle ] [ mise à jour 23 février '12] . critère d'unicité de l'extension auto-adjointe des opérateurs symétriques non bornés. Exemples d'avertissement d'extensions auto-adjointes incomparables. Exemples d'opérateurs symétriques avec fermetures auto-adjointes.
      • [ Hilbert-Schmidt, opérateurs compacts, théorème spectral ] [ mise à jour 01 mars '12] . Théorème spectral pour les opérateurs compacts auto-adjoints sur les espaces de Hilbert. Les opérateurs Hilbert-Schmidt sont compacts. [Certaines erreurs de copier-coller vraiment stupides corrigées]
      • [ Plancherel et décompositions spectrales ] [ mise à jour 25 mars '14] . Dérivation L 2, L 2 espaces de Levi-Sobolev, pour les séries de Fourier et les transformées de Fourier.
      • [ Opérateurs compacts sur les espaces de Banach ] [ mise à jour 04 mars '12] . la théorie de base de Fredholm-Riesz des opérateurs compacts sur les espaces de Banach : le spectre non nul est entièrement constitué de valeurs propres, les espaces propres sont de dimension finie, le seul point d'accumulation du spectre est 0, et le Alternative à Fredholm: pour compact T et complexe non nul z, SoitT-z est une bijection, ou alors son noyau et son conoyau ont la même dimension (finie) (et l'image est fermée).
      • [ Résolvantes compactes et perturbations ] [ mise à jour 24 juillet '11] . Surtout pour les opérateurs non bornés sur les espaces de Hilbert ou de Banach, la compacité de la résolvante et la méromorphie correspondante dans le paramètre spectral sont très importantes. Nous montrons que la compacité de la résolvante en tout point implique méromorphie et compacité partout loin des pôles.
      • [ espaces nucléaires et théorème du noyau I ] [ mise à jour 19 juillet '11] . Opérateurs de Hilbert-Schmidt sur les espaces de Hilbert, espaces de Frechet nucléaires les plus simples construits comme limites de Hilbert-Schmidt des espaces de Hilbert, produits tensoriels catégoriels, topologies et colimites duales fortes, théorème du noyau de Schwartz pour les espaces de Levi-Sobolev.
      • [ innombrables coproduits ] [ mise à jour 18 juillet '11] . des espaces vectoriels topologiques localement convexes, dans la catégorie localement convexe, échouer être des coproduits dans la catégorie plus large des espaces vectoriels topologiques non nécessairement localement convexes, essentiellement à cause de l'existence des espaces spécifiques non localement convexes L p (I) avec 0<p<1.
      • [ les unions compactes de fermés sont fermées, les intersections compactes d'ouverts sont ouvertes ] [ mise à jour 18 août '12] . Dans les groupes topologiques et dans les espaces vectoriels topologiques.
      • [ distributions lissantes/adoucissantes ] [ mise à jour 13 mars '13] . En utilisant des identités approchées lisses, les distributions arbitraires sont approchées dans la topologie faible * par des fonctions lisses. Gelfand-Pettis/intégrales faibles jouent un rôle central.
      • [ les duels faibles ne sont pas complets ] [ mise à jour 02 janvier '11] . Les duals faibles d'espaces vectoriels topologiques raisonnables ne sont pas Achevée. Cela est connu depuis 1950 des travaux de Grothendieck. Heureusement, quasi- l'exhaustivité est suffisante dans la pratique. Séquentiel l'exhaustivité est insuffisante.
      • [ Distributions prises en charge à 0 ] [ mise à jour 16 décembre '10] . Le résultat primordial que les distributions supportées à 0 sont des combinaisons linéaires finies du delta de Dirac et de ses dérivées partielles. Connue bien avant que la notion de distribution ne soit explicitée.
      • [ Levi-Sobolev plongeant dans les espaces de Lipschitz ] [ mise à jour 23 novembre '10] Théorème d'inclusion de Levi-Sobolev légèrement plus fort, abordant non seulement la différentiabilité continue, mais des conditions de Lipschitz supplémentaires sur les dérivées les plus élevées.
      • [ Opérateurs non bornés, extensions de Friedrichs, résolvantes ] [ mise à jour 25 mai '14]
      • [ Théorème de Peetre ] [ mise à jour 16 octobre '09] . Un opérateur linéaire n'augmentant pas les supports est un opérateur différentiel.
      • [ Lemme du serpent, extensions, fonction Gamma ] [ mise à jour 14 juin '11] . Des idées homologiques simples prouvent une extensibilité unique, illustrée par des distributions homogènes et Gamma.
      • [ Distributions supportées sur hyperplans ] [ mise à jour 10 mai '08] . Preuve que les distributions supportées sur les hyperplans sont des compositions de différenciations transversales avec restriction puis évaluation par rapport aux distributions sur les hyperplans.
      • [ L'inégalité d'incertitude de Heisenberg ] [ mise à jour 10 mai '08] . Preuve d'une inégalité concernant les transformées de Fourier qui a l'interprétation traditionnellement attribuée au principe d'incertitude de Heisenberg.
      • [ espaces vectoriels topologiques non localement convexes ] [ mise à jour 10 mai '08] . Preuve que les espaces ell-p avec 0 < p < 1 ne sont pas localement convexes
      • [ Une douceur faible implique une douceur forte ] [ mise à jour 21 novembre 2006] . pour les fonctions f avec des valeurs dans un espace vectoriel topologique localement convexe quasi-complet V. Autrement dit, si la fonction à valeur scalaire (Lf)(x) est lisse pour chaque fonctionnelle linéaire continue L sur V, alors la fonction à valeur V f elle-même est lisse. (Le sens actuel de "faible" ne fait pas directement référence aux dérivés distributionnels.)
      • [ Unicité des distributions invariantes ] [ mise à jour 03 août '05] . sur les groupes Lie, les groupes totalement déconnectés, les groupes Adele, etc.
      • [ Espaces métriques ] . [ mise à jour 30 août '05] Révision des espaces métriques. Théorème des catégories de Baire, à la fois pour les espaces de Hausdorff métriques complets et localement compacts.
      • [ Espaces de fonctions ] . [ mise à jour 16 sept. 08] Définitions de base et aperçu. L'accent est mis sur les espaces de Banach communs des fonctions k-fois continûment dérivables. Introduit les espaces de Fréchet.
      • (*) Exercices de révision, exercices sur les espaces fonctionnels . [ mise à jour 03 février '06]
      • [ Espaces de Hilbert ] . [ mise à jour 29 mars '09] Bases. Inégalité de Cauchy-Schwarz-Bunyakovsky. Théorème de convexité. Orthogonalité. Théorème de Riesz-Fischer.
      • (*) Premiers exercices liés à la série de Fourier . [ mise à jour 03 février '06]
      • [Espaces de Banach] Bases de l'analyse fonctionnelle : Théorème de Banach-Steinhaus (Uniform Boundedness), Open Mapping Theorem, Théorème de Hahn-Banach, dans le contexte simple des espaces de Banach.
      • [ Applications des idées spatiales de Banach aux séries de Fourier ] . [ mise à jour 19 février '05] Divergence des séries de Fourier de fonctions continues. Lemme de Riemann-Lebesgue. Non-surjectivité de l'application des fonctions périodiques intégrables aux suites allant à zéro à l'infini.
      • (*) Exercices liés aux espaces Banach . [ mise à jour 03 février '06]
      • [ opérateurs sur les espaces de Hilbert ] . [ mise à jour 19 fév '05] Continuité et bornage, adjoints, valeurs propres, spectre discret/continu/résiduel.
      • [ théorème spectral pour les opérateurs compacts auto-adjoints sur les espaces de Hilbert ] . [ mise à jour 18 février '12]
      • [ espaces vectoriels topologiques ] . [ mise à jour 25 juil. '11] Espaces vectoriels topologiques généraux, unicité de la topologie (Hausdorff) sur des espaces de dimension finie.
      • [ Théorèmes de Hahn-Banach ] . [ mise à jour 17 Jul '08] Résultats de base concernant les espaces vectoriels topologiques localement convexes : théorème d'extension dominé, théorème de séparation, corollaires.
      • [ constructions catégorielles ] . [ mise à jour 09 nov '10] Produits, coproduits, limites projectives, limites directes, traités comme objets initiaux ou finaux dans des catégories appropriées de diagrammes, pour donner des preuves triviales d'unicité. Preuves par point de vue.
      • (*) quelques exercices sur les espaces vectoriels topologiques généraux [ mise à jour 03 février '06]
      • [ intégrales vectorielles ] . [ mise à jour 18 juillet '11] Quasi/complétude-locale comme critère utile pour l'existence de Gelfand-Pettis ( faible ) intégrales de fonctions vectorielles continues à support compact. Prouve la quasi-complétude locale des espaces les plus utiles, y compris les fonctions de test, les espaces d'applications linéaires, etc.
      • [ Banach-Alaoglu, variante Banach-Steinhaus, bipolaires, principes faibles à forts ] . [ mise à jour 16 juillet 08]
      • (*) Exercices sur topologies faibles, intégrales . [ mise à jour 03 février '06]
      • (*) Exercices sur les distributions . [ mise à jour 03 février '06]
      • [ fonctions holomorphes à valeur vectorielle, holomorphie faible à forte ] . [ mise à jour 19 février '05]
      • Fonctions de choix mesurables . [ mise à jour 19 janvier 2013] Après Dixmier : existence de fonctions mesurables X->Y avec graphe à l'intérieur d'un sous-ensemble mesurable donné du produit X x Y.
      • Enveloppes de fonction de Schwartz de décroissance rapide. [ mise à jour 20 février '05] Après Weil : les fonctions décroissantes rapidement peuvent être dominées par des fonctions de Schwartz, les fonctions de Schwartz peuvent être factorisées comme des produits de deux, etc.
      • [ L'alternance des racines de Sturm ] . propriété des solutions à certains problèmes de fonctions propres
      • [ Catalogue des espaces vectoriels topologiques ] Quelques espaces vectoriels topologiques importants et populaires.
      • [ Preuve théorique de la distribution de la formule de sommation de Poisson ]
      • [Un 'bon théorème spectral'] Ce schéma détaillé établit des idées de base sur les algèbres de von Neumann, intégrales directes des espaces de Hilbert, récupérant des choses plus traditionnelles (moins éclairantes) comme les 'résolutions de l'identité' comme artefacts.
      • [ La continuation analytique de Bernstein des puissances complexes des polynômes ]

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      Voir la vidéo: Mistahes nurga trigonomeetrilised funktsioonide defineerimine (Décembre 2021).